Abitur 2005 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

Gegeben sind die Gerade g durch die Punkte A(0|3|0) und B(7|4|5) sowie die Gerade

h : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 7 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})

mit

λ \in R

Teilaufgabe 1a (4 BE)

Zeigen Sie, dass g und h eine Ebene E aufspannen.

Teilaufgabe 1b (5 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform.
[mögliches Ergebnis:

2 x_{1} + x_{2} - 3 x_{3} - 3 = 0

]

Teilaufgabe 1c (7 BE)

C_{1}

und

C_{2}

sind zwei Punkte der Geraden h, für die die Dreiecke

{ABC}_{1}

bzw.

{ABC}_{2}

bei

C_{1}

bzw.

C_{2}

rechtwinklig sind. Bestimmen Sie die Koordinaten beider Punkte. (Der Punkt mit ganzzahligen Koordinaten wird mit

C_{1}

bezeichnet.)
[Zur Kontrolle:

C_{1} (1 | 1 | 0)

]

Teilaufgabe 1d (4 BE)

Tragen Sie die Geraden g und h sowie das Dreieck

{ABC}_{1}

in ein Koordinatensystem ein (vgl. Skizze).

Teilaufgabe 1e (3 BE)

Begründen Sie ohne Rechnung, dass der Punkt N mit dem Ortsvektor

\vec{ON} = \frac{1}{2} (\vec{OA} + \vec{OB})

der Umkreismittelpunkt des Dreiecks

{ABC}_{1}

ist.

Das Dreieck

{ABC}_{1}

ist die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S; M ist der Mittelpunkt der Dreiecksseite

[{AC}_{1}]

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Für S gilt: Die Strecke [MS] steht senkrecht auf der

x_{1} x_{2}

-Ebene und hat die Länge 4, die

x_{3}

-Koordinate von S ist positiv.
Bestimmen Sie die Koordinaten von S und zeichnen Sie M und die Pyramide in die Zeichnung von Teilaufgabe 1d ein.
[Zur Kontrolle: S(0,5|2|4)]

Teilaufgabe 2b (8 BE)

Begründen Sie, dass das Dreieck

C_{1} AS

achsensymmetrisch ist, und berechnen Sie die Innenwinkel dieses Dreiecks.

Teilaufgabe 2c (4 BE)

Berechnen Sie die Höhe der Pyramide

{ABC}_{1} S

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Lösung als Video:

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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