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Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3c  (5 BE)

Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks SMP.

 

Lösung zu Teilaufgabe 3c

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Innenwinkel eines Dreiecks

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 ${\displaystyle \omega =\sphericalangle PMS}$ 

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Skalarprodukt

Skalarprodukt:

 ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{a}\text{·}\stackrel{\rightharpoonup }{b}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|\text{·}\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|\text{·}cos\alpha }$ 

 ${\displaystyle cos\alpha =\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{a}\text{·}\stackrel{\rightharpoonup }{b}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{a}\right|\text{·}\left|\stackrel{\rightharpoonup }{b}\right|}}$ 

 ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{MP}\text{·}\stackrel{\rightharpoonup }{MS}=\left|\stackrel{\rightharpoonup }{MP}\right|\text{·}\left|\stackrel{\rightharpoonup }{MS}\right|\text{·}cos\omega }$ 

 ${\displaystyle cos\omega =\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{MP}\text{·}\stackrel{\rightharpoonup }{MS}}{\left|\stackrel{\rightharpoonup }{MP}\right|\text{·}\left|\stackrel{\rightharpoonup }{MS}\right|}}$ 

 ${\displaystyle cos\omega =\frac{\left(\begin{array}{c}1,5\\ 3\\ 1,5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-1,5\\ 6\\ -1,5\end{array}\right)}{\sqrt{13,5}\text{·}\sqrt{40,5}}}$ 

 ${\displaystyle cos\omega =\frac{13,5}{\sqrt{13,5}\text{·}\sqrt{3}\text{·}\sqrt{13,5}}=\frac{1}{\sqrt{3}}}$ 

 ${\displaystyle \omega \approx 54,7°}$ 

∠ SPM = 90${\displaystyle {}^{\circ }}$  (siehe 3a)

∠ MSP = 180${\displaystyle {}^{\circ }}$ - 90${\displaystyle {}^{\circ }}$ - 54,7${\displaystyle {}^{\circ }}$ = 35,3${\displaystyle {}^{\circ }}$

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