Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (5 BE)

Der Punkt M auf der Geraden s ist Mittelpunkt der Kugel K, die g in P berührt.
Die nebenstehende Skizze zeigt die gegenseitige Lage der Geraden g und s sowie der Punkte S, R, P und M.

Ermitteln Sie die Koordinaten von M.
[Ergebnis: M(-4,5|-3|2,5)]

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Mittelpunkt der Kugel

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\overset{⇀}{SP} · \overset{⇀}{PM} = 0

; M ∈ s

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Tangente an Kugel

Die Gerade g ist Tangente an die Kugel K und berührt sie im Punkt P.
Der Berührungsradius [PM] steht senkrecht zur Tangente g. Somit stehen auch die Vektoren

\overset{⇀}{SP}

und

\overset{⇀}{PM}

senkrecht aufeinander.

\overset{⇀}{SP} · \overset{⇀}{PM} = 0

\overset{⇀}{SP} = ((\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix})

\overset{⇀}{PM} = \underset{\underset{M \in s}{︸}}{(\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + μ_{M} (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})} - \underset{\underset{P}{︸}}{(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})}

(\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + μ_{M} (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})) = 0

(\begin{matrix} 3 \\ - 3 \\ 3 \end{matrix}) \cdot ((\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + μ_{M} (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})) = 0

- 24 + μ_{M} · (- 18) - 3 = 0 \Rightarrow μ_{M} = - \frac{3}{2}

\overset{⇀}{m} = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + μ_{M} (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

\overset{⇀}{m} = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + - \frac{3}{2} \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4, 5 \\ - 3 \\ 2, 5 \end{matrix})

M(-4,5|-3|2,5)

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Themen dieser Aufgabe:

Mittelpunkt der Kugel

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