Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (6 BE)

Zeigen Sie, dass der Punkt R(-5|-1|2) Fußpunkt des Lots von P auf die Ebene E ist, und bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes

P^{'}

, den man durch Spiegelung des Punktes P an der Ebene E erhält.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Lotfußpunkt auf eine Ebene

Lotgerade l:

l : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + δ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Lotgerade auf einer Ebene

Lot von P auf E:

die Lotgerade l steht senkrecht zur Ebene E

\Rightarrow

der Normalenvektor

\overset{⇀}{n}

der Ebene E ist Richtungsvektor der Lotgeraden

\Rightarrow

die Lotgerade geht durch P

l : \overset{⇀}{x} = \overset{⇀}{p} + δ · \overset{⇀}{n}

l : \overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + δ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Die Lotgerade l schneidet E in R:

[(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + δ (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})] (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + 7 = 0

2 + 9 δ + 7 = 0

δ = - 1

\overset{⇀}{x_{R}} = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + (- 1) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

R(-5|-1|2)

Spiegelpunkt

self::rueckwandlungAmp( href="/al_upload/2004/GK/Analytische%20Geometrie/VI/1c/loesung/abi2004_geo_gk_6_1c.wrl" target="_blank", )

\overset{⇀}{{OP}^{'}} = \overset{⇀}{OP} + 2 \overset{⇀}{PR}

\overset{⇀}{{OP}^{'}} = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + 2 (\begin{matrix} - 2 \\ - 1 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 7 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix})

P^{'} (- 7 | - 2 | 0)

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Teilaufgabe 3d

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Themen dieser Aufgabe:

Lotfußpunkt auf eine Ebene

Spiegelpunkt

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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