Lösung Abitur Bayern 2004 Mathematik GK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Die Ebene

F : x_{1} - x_{3} + 7 = 0

enthält die Gerade g (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie eine Gleichung für die Schnittgerade s der beiden Ebenen E und F.
[mögliches Ergebnis:

\overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

]

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Schnitt zweier Ebenen

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F : x_{1} - x_{3} + 7 = 0 \Rightarrow x_{1} = - 7 + x_{3}

E : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 7 = 0

2 (- 7 + x_{3}) + x_{2} + 2 x_{3} + 7 = 0

- 14 + 2 x_{3} + x_{2} + 2 x_{3} + 7 = 0

x_{2} + 4 x_{3} - 7 = 0 \Rightarrow x_{2} = 7 - 4 x_{3}

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt zweier Ebenen

Beim Schnitt zweier Ebenen in Normalform ist ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen zu lösen.
Die zwei Gleichungen sind die Ebenengleichungen in Normalform, die drei Variablen sind

x_{1}, x_{2}

und

x_{3}

.

Für die Lösung müssen zwei Variablen jeweils durch die dritte ausgedrückt werden.

In dieser Aufgabe werden

x_{1}

und

x_{2}

durch

x_{3}

ausgedrückt.

x_{1} = - 7 + x_{3}

folgt aus F

x_{2} = 7 - 4 x_{3}

folgt aus E und dem eingesetzten Term aus F

x_{3} = x_{3}

dritte Variable

x_{1} = - 7 + x_{3}

x_{2} = 7 - 4 x_{3}

x_{3} = x_{3}

Schnittgerade s:

\overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 7 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) + x_{3} (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Als mögliches Ergebnis wurde

\overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

angegeben. Die hier ermittelte Gerade

\overset{⇀}{x} = (\begin{matrix} - 7 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) + x_{3} (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix})

ist mit dieser identisch.

(\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 1 \end{matrix}) = (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

Die Richtungsvektoren sind linear abhängig.

(\begin{matrix} - 7 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 4 \\ - 1 \end{matrix})

Der Ortsvektor der ermittelten Gerade liegt liegt auf der gegebenen Geraden.

self::rueckwandlungAmp( href="/al_upload/2004/GK/Analytische%20Geometrie/VI/2a/loesung/abi2004_geo_gk_6_2a.wrl" target="_blank", )

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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