Lösung Abitur Bayern 2003 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (4 BE)

Ermitteln Sie die beiden Stellen

und

, an denen die Funktion

den Wert m (m > 1) annimmt.
[Ergebnis:

]

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Umkehrfunktion bestimmen

f_{1} : x \mapsto \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

m = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} | \cdot 2

2 m = e^{x} + e^{- x} | - 2 m

0 = e^{x} - 2 m + e^{- x} | \cdot e^{x}

0 = {(e^{x})}^{2} - 2 m \cdot e^{x} + 1

Substitution:

t = e^{x}

0 = t^{2} - 2 m \cdot t + 1

t_{1, 2} = \frac{2 m \pm \sqrt{4 m^{2} - 4}}{2}

t_{1, 2} = m \pm \sqrt{m^{2} - 1}

Rücksubstitution:

e^{x_{1, 2}} = m \pm \sqrt{m^{2} - 1} |

logarithmieren

\Rightarrow x_{1, 2} = \ln (m \pm \sqrt{m^{2} - 1})

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Teilaufgabe 3

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Umkehrfunktion bestimmen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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