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Abitur 2003 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Teilaufgabe 1a (6 BE)
Gegeben sind die in R definierten Funktionen
,
und
.
Zeichnen Sie mit Hilfe der Funktionswerte g(-1), g(1) und g(2) den Graphen von g im Bereich
in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 2 cm.
Erläutern Sie, wie der Graph von
aus dem Graphen von g und schließlich der Graph von
aus den Graphen von g und
entsteht. Zeichnen Sie die Graphen von
und
in das vorhandene Koordinatensystem.



Zeichnen Sie mit Hilfe der Funktionswerte g(-1), g(1) und g(2) den Graphen von g im Bereich

Erläutern Sie, wie der Graph von





Die Funktion
gehört der Funktionenschar
mit 
und
an. Der Graph von
wird mit
bezeichnet.



und



Teilaufgabe 1b (5 BE)
Welches Symmetrieverhalten weist
auf?
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von
und geben Sie die Koordinaten des Extrempunktes an.

Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von

Teilaufgabe 1c (6 BE)
Nun wird die Integralfunktion
mit dem Definitionsbereich
betrachtet.
Bestimmen Sie ohne Berechnung der integralfreien Darstellung von
das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von
(kurze Begründung).


Bestimmen Sie ohne Berechnung der integralfreien Darstellung von


Teilaufgabe 1d (8 BE)
Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von
und zeigen Sie die Gültigkeit der Beziehung
für alle
.
Konstruieren Sie mittels dieser Beziehung den Wert J des Integrals
als Streckenlänge in Ihrer Zeichnung und markieren Sie die zugehörige Strecke farbig.



Konstruieren Sie mittels dieser Beziehung den Wert J des Integrals

Teilaufgabe 2a (4 BE)
Ermitteln Sie die beiden Stellen
und
, an denen die Funktion
den Wert m (m > 1) annimmt.
[Ergebnis:
]



[Ergebnis:

Teilaufgabe 2b (5 BE)
Lässt man das im 1. Quadranten liegende, von
, der positiven
y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y = 10 begrenzte Flächenstück um die y-Achse rotieren, entsteht ein kelchförmiger Körper. Berechnen Sie dessen Durchmesser d am oberen Rand.
Geben Sie einen Ansatz für das Volumen V des Kelches an (Berechnung ist nicht verlangt).

y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y = 10 begrenzte Flächenstück um die y-Achse rotieren, entsteht ein kelchförmiger Körper. Berechnen Sie dessen Durchmesser d am oberen Rand.
Geben Sie einen Ansatz für das Volumen V des Kelches an (Berechnung ist nicht verlangt).
Teilaufgabe 3 (6 BE)
Die Spannweite am Boden (Außenmaße) und die Höhe des 1965 in St. Louis, Missouri, errichteten Gateway Arch betragen jeweils 631 feet. Das Foto zeigt eine Schrägansicht des Bogens. In einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 foot kann die äußere Begrenzung des Bogens durch einen umgedrehten Graphen angenähert werden. Erstellen Sie einen Ansatz zur Berech- nung von k und zeigen Sie, dass der Wert ![]() lösung ist. | ![]() |
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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