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Abitur 2003 Mathematik LK Infinitesimalrechnung I
Teilaufgabe 1a (6 BE)
Gegeben sind die in R definierten Funktionen
, 
und 
.
Zeichnen Sie mit Hilfe der Funktionswerte g(-1), g(1) und g(2) den Graphen von g im Bereich
in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 2 cm.
Erläutern Sie, wie der Graph von
aus dem Graphen von g und schließlich der Graph von 
aus den Graphen von g und 
entsteht. Zeichnen Sie die Graphen von 
und 
in das vorhandene Koordinatensystem.
, und .Zeichnen Sie mit Hilfe der Funktionswerte g(-1), g(1) und g(2) den Graphen von g im Bereich
in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 2 cm. Erläutern Sie, wie der Graph von
aus dem Graphen von g und schließlich der Graph von aus den Graphen von g und entsteht. Zeichnen Sie die Graphen von und in das vorhandene Koordinatensystem.
Die Funktion 
gehört der Funktionenschar 
mit 
und
an. Der Graph von 
wird mit 
bezeichnet.
gehört der Funktionenschar mit und
an. Der Graph von wird mit bezeichnet.
Teilaufgabe 1b (5 BE)
Welches Symmetrieverhalten weist 
auf?
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von
und geben Sie die Koordinaten des Extrempunktes an.
auf?Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von
und geben Sie die Koordinaten des Extrempunktes an.
Teilaufgabe 1c (6 BE)
Nun wird die Integralfunktion 
mit dem Definitionsbereich 
betrachtet.
Bestimmen Sie ohne Berechnung der integralfreien Darstellung von
das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von 
(kurze Begründung).
mit dem Definitionsbereich betrachtet. Bestimmen Sie ohne Berechnung der integralfreien Darstellung von
das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von (kurze Begründung).
Teilaufgabe 1d (8 BE)
Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von 
und zeigen Sie die Gültigkeit der Beziehung 
für alle 
.
Konstruieren Sie mittels dieser Beziehung den Wert J des Integrals
als Streckenlänge in Ihrer Zeichnung und markieren Sie die zugehörige Strecke farbig.
und zeigen Sie die Gültigkeit der Beziehung für alle .Konstruieren Sie mittels dieser Beziehung den Wert J des Integrals
als Streckenlänge in Ihrer Zeichnung und markieren Sie die zugehörige Strecke farbig.
Teilaufgabe 2a (4 BE)
Ermitteln Sie die beiden Stellen 
und 
, an denen die Funktion 
den Wert m (m > 1) annimmt.
[Ergebnis:
]
und , an denen die Funktion den Wert m (m > 1) annimmt.[Ergebnis:
]
Teilaufgabe 2b (5 BE)
Lässt man das im 1. Quadranten liegende, von 
, der positiven
y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y = 10 begrenzte Flächenstück um die y-Achse rotieren, entsteht ein kelchförmiger Körper. Berechnen Sie dessen Durchmesser d am oberen Rand.
Geben Sie einen Ansatz für das Volumen V des Kelches an (Berechnung ist nicht verlangt).
, der positiven y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y = 10 begrenzte Flächenstück um die y-Achse rotieren, entsteht ein kelchförmiger Körper. Berechnen Sie dessen Durchmesser d am oberen Rand.
Geben Sie einen Ansatz für das Volumen V des Kelches an (Berechnung ist nicht verlangt).
Teilaufgabe 3 (6 BE)
Die Spannweite am Boden (Außenmaße) und die Höhe des 1965 in St. Louis, Missouri, errichteten Gateway Arch betragen jeweils 631 feet. Das Foto zeigt eine Schrägansicht des Bogens. In einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 foot kann die äußere Begrenzung des Bogens durch einen umgedrehten Graphen angenähert werden. Erstellen Sie einen Ansatz zur Berech- nung von k und zeigen Sie, dass der Wert  eine gute Näherungs-lösung ist. |  |
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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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