Abitur 2019 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

Der zum Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems punktsymmetrische Graph

G_{f}

einer ganzrationalen Funktion

f

dritten Grades mit der Definitionsmenge

D_{f} = ℝ

besitzt einen lokalen Tiefpunkt an der Stelle

x = - 2

Teilaufgabe 1.1 (3 BE)

Skizzieren Sie mithilfe der oben genannten Eigenschaften von

f

einen möglichen Graphen dieser Funktion und geben Sie das Verhalten der Funktionswerte

f (x)

für

x \to - \infty

und

x \to \infty

Teilaufgabe 1.2 (4 BE)

Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen

G_{f^{'}}

der ersten Ableitungsfunktion

f^{'}

mit Worten. Geben Sie dabei insbesondere die Nullstellen der Funktion

f^{'}

, die Lage des Extrempunktes und das Symmetrieverhalten des Graphen

G_{f^{'}}

an.

Teilaufgabe 2 (6 BE)

Lösen Sie die beiden folgenden Gleichungen über der Grundmenge der reellen Zahlen.

a)

3 x^{4} - 12 x^{2} = 0

e^{x^{2}} = e^{2 x - 1}

Gegeben ist die Funktion

g : x \mapsto e^{0, 25 x} - e^{- 0, 25 x}

mit der Definitionsmenge

D_{g} = ℝ

.
Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit

G_{g}

bezeichnet.

Teilaufgabe 3.1 (3 BE)

Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen der Funktion

g

zum Koordinatensystem und geben Sie

\int_{- 2}^{2} g (x) dx

an.

Teilaufgabe 3.2 (3 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung für die Tangente an den Graphen der Funktion

g

an der Stelle

x = 0

Teilaufgabe 4 (3 BE)

In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt des Graphen der Funktion

h

und der entsprechende Ausschnitt des Graphen einer Stammfunktion

H

von

h

dargestellt.
Entnehmen Sie der Abbildung den Wert der Differenz

H (2) - H (0)

und interpretieren Sie diesen Wert bezüglich des Graphen von

h

geometrisch.

Für eine ganzrationale Funktion

f

dritten Grades mit der Definitionsmenge

D_{f} = ℝ

gelten folgende Gleichungen:

\begin{matrix} I. & f (0) = 0 \\ III. & f (- 3) = - 3 \end{matrix}

\begin{matrix} II. & f^{'} (0) = 0 \\ IV. & f^{'} (- 3) = - 1 \end{matrix}

Der zugehörige Graph in einem karteischen Koordinatensystem wird mit

G_{f}

bezeichnet.

Teilaufgabe 5.1 (2 BE)

Beschreiben Sie in Worten, welche Eigenschaften der Graph von

f

aufgrund obiger Gleichungen hat.

Teilaufgabe 5.2 (5 BE)

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von

f

.

[Mögliches Ergebnis:

f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{4}{3} x^{2}

]

Im Folgenden wird die Funktion

g

mit

g (x) = f (x)

und der im Vergleich zu

D_{f}

eingeschränkten Definitionsmenge

D_{g} = [- 4, 5; 1]

betrachtet. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit

G_{g}

bezeichnet.

Teilaufgabe 5.3.1 (8 BE)

Ermitteln Sie die Wertemenge

W_{g}

der Funktion

g

. Bestimmen Sie dazu die Koordinaten sämtlicher Extrempunkte.

Teilaufgabe 5.3.2 (3 BE)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion

g

Teilaufgabe 5.3.3 (5 BE)

Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen

G_{g}

in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem. Ermitteln Sie dazu die Nullstellen der Funktion

g

. Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 1 cm

Teilaufgabe 5.3.4 (3 BE)

Der Graph der Funktion

g

und die x-Achse schließen im III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks.

Der Verlauf der Anzahl der Neuerkrankungen für eine bestimmte Grippewelle in einer gewissen Region in Abhängigkeit von der Zeit kann vereinfacht durch die Funktion

N

mit der Funktionsgleichung

N (t) = 2 t^{2} \cdot e^{- 0, 5 t}

mit

t \in ℝ_{0}^{+}

beschrieben werden.
Dabei bedeutet die Variable

t

die Zeit in Wochen ab Beginn der Grippewelle zum Zeitpunkt

t_{0} = 0

. Der Funktionswert

N (t)

gibt die Anzahl der an Grippe neu erkrankten Menschen in Tausend an.
Auf das Mitführen von Einheiten während der Rechnungen kann verzichtet werden.
Runden Sie Ihre Ergebnisse sinnvoll.

Teilaufgabe 6.1 (7 BE)

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt

t_{max}

die Zahl der neu erkrankten Menschen ihr Maximum annimmt und berechnen Sie diese maximale Anzahl.

[Teilergebnis:

\overset{\cdot}{N} (t) = (4 t - t^{2}) \cdot e^{- 0, 5 t}

]

Teilaufgabe 6.2 (2 BE)

Ermitteln Sie das Verhalten der Funktionswerte

N (t)

für

t \to \infty

und interpretieren Sie das Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik.

Teilaufgabe 6.3 (3 BE)

Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion

N

im Bereich

0 \leq t \leq 10

in ein geeignetes beschriftetes Koordinatensystem. Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 1 cm

Teilaufgabe 6.4 (5 BE)

Gegeben ist die Funktion

G : t \mapsto (- 4 t^{2} - 16 t - 32) \cdot e^{- 0, 5 t}

mit der Definitionsmenge

D_{G} = ℝ_{0}^{+}

. Zeigen Sie, dass die Funktion

G

eine mögliche Stammfunktion von

N

ist.
Berechnen Sie damit die durchschnittliche Anzahl an neu erkrankten Menschen während der ersten acht Wochen ab Beginn der Grippewelle.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1.1

Teilaufgabe 1.2

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3.1

Teilaufgabe 3.2

Teilaufgabe 4

Teilaufgabe 5.1

Teilaufgabe 5.2

Teilaufgabe 5.3.1

Teilaufgabe 5.3.2

Teilaufgabe 5.3.3

Teilaufgabe 5.3.4

Teilaufgabe 6.1

Teilaufgabe 6.2

Teilaufgabe 6.3

Teilaufgabe 6.4

Lösung als Video:

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