Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik NT Stochastik S I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 7 (5 BE)

Aufgrund der steigenden Nachfrage nach "Urlaub auf dem Bauernhof" überlegt der Besitzer des Bergbauernhofs zusätzlich ein besonderes Erlebnis, Übernachtungen im Freien auf einem gemütlichen Heuwagen, anzubieten. Ein befreundeter Bauernhofbesitzer behauptet basierend auf seinen Erfahrungen, dass höchstens

30 %

der Gäste dieses Angebot in Anspruch nehmen. Dennoch ist der Besitzer des Bergbauernhofs der festen Überzeugung, dass Übernachtungen im Freien ein neuer Trend sind und schätzt die Nachfrage deutlich höher ein (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen befragt er 200 seiner Gäste.
Entwickeln Sie für den Bauern einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von

5 %

und geben Sie an, ob der Behauptung des befreundeten Bauern auf Basis des Tests zugestimmt werden kann, wenn sich 131 Befragte gegen eine Übernachtung im Freien aussprechen.

Lösung zu Teilaufgabe 7

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Text analysieren und Daten herauslesen:

T

: Anzahl der Gäste, die das Angebot nutzen, von 200.

Nullhypothese:

H_{0} : p \leq 0, 3

Gegenhypothese:

H_{1} : p_{1} > 0, 3

Stichprobenumfang:

n = 200

Signifikanzniveau:

α = 5 %

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Nullhypothese

Gegenhypothese

Da hier die Gegenhypothese "

p_{1} > 0, 3

" bzw. "Nachfrage höher (als)" lautet, liegt der Annahmebereich links und der Ablehnungsbereich rechts.

Annahmebereich von

H_{0}

A = [0, k]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [k + 1, 200]

Fehler 1. Art bestimmen:

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Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art", wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird (s. auch Merkhilfe Mathematik).

Das ist der Fall, wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

T \geq k + 1

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 3}^{200} (T \geq k + 1) \leq 0, 05

P_{0, 3}^{200} (T \geq k + 1) \leq 0, 05

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Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P ("mindestens k + 1 Treffer") = 1 - P ("höchstens k Treffer")

In mathematischen Zeichen:

P (X \geq k + 1) = 1 - P (X \leq k)

1 - P_{0, 3}^{200} (T \leq k) \leq 0, 05

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Rechenweg

1 - P_{0, 3}^{200} (T \leq k) \leq 0, 05

|

- 1

- P_{0, 3}^{200} (T \leq k) \leq - 0, 95

|

\cdot (- 1)

(Das Relationszeichen dreht sich, da mit einer negativen Zahl multipliziert wird.)

P_{0, 3}^{200} (T \leq k) \geq 0, 95

P_{0, 3}^{200} (T \leq k) \geq 0, 95

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k \geq 71

Entscheidungsregel:

A = {0, \dots, 71}

200 - 131 = 69 \in A

\Rightarrow

H_{0}

wird angenommen

Dem Freund sollte geglaubt werden.

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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