Abitur 2019 Mathematik NT Stochastik S I

Teilaufgabe 1 (3 BE)

A

und

B

sind zwei beliebige (vereinbare) Ereignisse von

Ω

. Geben Sie das im Venn-Diagramm grau unterlegte Ereignis

E_{1}

in möglichst einfacher Symbolschreibweise an und veranschaulichen Sie das Ereignis

E_{2} = \bar{A \cap \bar{B}}

in einem Venn-Diagramm.

Folgendes Baumdiagramm stellt die Ergebnisse eines zweistufigen Zufallsexperiments dar. Dabei gilt:

p \in ℝ

und

0 \leq p \leq 1

Teilaufgabe 2.1 (2 BE)

Bestimmen Sie den Wert von

p

so, dass für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

B

gilt:

P (B) = 0, 24

Teilaufgabe 2.2 (2 BE)

Das zweistufige Zufallsexperiment ist ein Gewinnspiel, bei dem man nur gewinnt, wenn das Ereignis

\bar{A} \cap \bar{B}

eintritt.
Interpretieren Sie folgende Gleichung im Sachzusammenhang:

{(0, 8 \cdot (1 - p))}^{3} = 0, 001

Teilaufgabe 3 (5 BE)

Auf einem Schulfest wird als Gewinnspiel Dosenwerfen angeboten. Aus den Vorjahren weiß man, dass nur

10 %

der Teilnehmer es schaffen, alle Dosen abzuräumen und somit einen Gewinn zu erhalten. Betrachtet werden nun sieben zufällig ausgewählte aufeinanderfolgende Teilnehmer.
Geben Sie jeweils einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse berechnet werden kann:

E_{1}

: "Die letzten beiden Teilnehmer gewinnen."

E_{2}

: "Gewinner und Verlierer wechseln sich ab."

E_{3}

: "Genau drei Teilnehmer gewinnen und diese folgen aufeinander."

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Ein großer Bergbauernhof bietet seinen Gästen während ihres Urlaubsaufenthalts verschiedene Möglichkeiten an, das Leben auf dem Land zu genießen. Erfahrungsgemäß entscheiden sich die Hälfte aller Gäste auf einer der einsamen Hütten (

H

) zur Ruhe zu kommen,

30 %

verbringen ihren Aufenthalt im gemütlichen Stadl (

S

) und die übrigen Besucher übernachten im Bauernhaus (

B

). Bei der Anreise hat jeder Gast die Wahl, den steilen Weg bis zum Feriendomizil zu Fuß zurückzulegen

(\bar{T})

oder sich von einem Traktorshuttle (

T

) nach oben befördern zu lassen. Von den Hüttenbewohnern nutzen nur ein Viertel diesen Service, bei den Stadlgästen sind es die Hälfte, und von den Gästen im Bauernhaus erklimmt keiner zu Fuß den Berg. Für Stadlgäste und Gäste des Bauernhauses besteht zusätzlich die Möglichkeit ein Frühstück (

F

) dazu zu buchen. Jeweils ein Fünftel dieser Gäste nutzen dieses Angebot nicht, unabhängig davon, ob der Shuttleservice in Anspruch genommen wird oder nicht. Hüttenbewohner können kein Frühstück buchen.
Die Befragung eines zufällig ausgewählten Gastes nach seinen getätigten Buchungen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

Teilaufgabe 4.1 (4 BE)

Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

Teilaufgabe 4.2 (4 BE)

Gegeben sind folgende Ereignisse:

E_{1}

: "Ein Gast entscheidet sich gegen den Aufstieg zum Bergbauernhof."

E_{2} = {S T F; S \bar{T} F; B T F}

Geben Sie

E_{1}

in aufzählender Mengenschreibweise an und berechnen Sie

P (E_{1})

. Fassen Sie

E_{2}

möglichst einfach in Worte und untersuchen Sie

E_{1}

und

E_{2}

auf Unvereinbarkeit.

Für Kinder gibt es auf dem Bauernhof spezielle Angebote, die stetig der Nachfrage angepasst werden sollen.
Derzeit stehen Ponys (

P

) zur Pferdepflege und für kleine Ausritte zur Verfügung. Ebenso besteht die Möglichkeit zur Mithilfe im Kuh- und Kälberstall (

S

). Aus dem Vorjahr ist bekannt, dass sich von 400 Kindern 108 für die Arbeit im Stall und 250 für die Ponys begeisterten, wobei

20 %

dieser Ponyinteressierten auch von der Mithilfe im Stall nicht genug bekommen konnten.

Teilaufgabe 5.1 (3 BE)

Berechnen Sie, für wie viel Prozent der Kinder ein Alternativangebot ohne Tierkontakt wünschenswert wäre.

Teilaufgabe 5.2 (2 BE)

Ermitteln Sie, ob die Mithilfe im Stall bei den Ponyinteressierten beliebter ist als bei denen, die sich nicht für Ponys begeistern.

Nachdem beim Besitzer des Bergbauernhofs im vorletzten Jahr immer wieder Anfragen nach Freizeitaktivitäten für Erwachsene eingingen, bietet er seit letztem Jahr auch die in folgender Preisliste aufgeführten Erlebnisse an:

Die Gäste zeigen erfahrungsgemäß folgendes Wahlverhalten:

Andere Kombinationen von Erlebnissen wurden nicht gewählt.

Teilaufgabe 6.1 (2 BE)

Ermitteln Sie die zu erwartenden Einnahmen des Bergbauernhofs durch das Erlebnisangebot für das aktuelle Jahr, wenn mit 900 erwachsenen Gästen für dieses Jahr gerechnet wird.

Teilaufgabe 6.2 (3 BE)

Da es für einzelne Erlebnisse für die zeitgleich anwesenden Urlaubsgäste Teilnehmerbegrenzungen gibt, interessiert sich der Landwirt für die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse. Bestimmen Sie diese.

E_{3}

: "Von 25 Gästen wählen genau acht nur die geführte Wanderung."

E_{4}

: "Von 25 Gästen wählen mindestens vier und weniger als neun den Melkkurs."

Teilaufgabe 7 (5 BE)

Aufgrund der steigenden Nachfrage nach "Urlaub auf dem Bauernhof" überlegt der Besitzer des Bergbauernhofs zusätzlich ein besonderes Erlebnis, Übernachtungen im Freien auf einem gemütlichen Heuwagen, anzubieten. Ein befreundeter Bauernhofbesitzer behauptet basierend auf seinen Erfahrungen, dass höchstens

30 %

der Gäste dieses Angebot in Anspruch nehmen. Dennoch ist der Besitzer des Bergbauernhofs der festen Überzeugung, dass Übernachtungen im Freien ein neuer Trend sind und schätzt die Nachfrage deutlich höher ein (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen befragt er 200 seiner Gäste.
Entwickeln Sie für den Bauern einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von

5 %

und geben Sie an, ob der Behauptung des befreundeten Bauern auf Basis des Tests zugestimmt werden kann, wenn sich 131 Befragte gegen eine Übernachtung im Freien aussprechen.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2.1

Teilaufgabe 2.2

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4.1

Teilaufgabe 4.2

Teilaufgabe 5.1

Teilaufgabe 5.2

Teilaufgabe 6.1

Teilaufgabe 6.2

Teilaufgabe 7

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