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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe
Teilaufgabe Teil B g  (4 BE)
In der Pharmakologie wird das in positive x-Richtung unbegrenzte Flächenstück, das sich im I. Quadranten zwischen G f und der x-Achse befindet, als AUC ("area under the curve") bezeichnet. Nur dann, wenn diesem Flächenstück ein endlicher Flächeninhalt zugeordnet werden kann, kann die betrachtete Funktion f die zeitliche Entwicklung der Wirkstoffkonzentration auch für große Zeitwerte x realistisch beschreiben.
Die x-Achse, G f und die Gerade mit der Gleichung x = b mit b ∈ ℝ + schließen im I. Quadranten ein Flächenstück mit dem Inhalt A ( b ) ein. Bestimmen Sie mithilfe der in Aufgabe d angegebenen Stammfunktion F einen Term für A ( b ) und beurteilen Sie unter Verwendung dieses Terms, ob die Funktion f auch für große Zeitwerte eine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration darstellt.
 
Lösung zu Teilaufgabe Teil B g
Flächenberechnung



A ( b ) = ∫ 0 b f ( x )  dx
A ( b ) = [ F ( x ) ] 0 b
A ( b ) = [ 4 ⋅ ln ( x + 1 ) + 4 x + 1 ] 0 b
A ( b ) = ( 4 ⋅ ln ( b + 1 ) + 4 b + 1 ) - ( 4 ⋅ ln 1 ︸ = 0 + 4 )
A ( b ) = 4 ⋅ ln ( b + 1 ) + 4 b + 1 - 4
Grenzwert bestimmen



lim b → + ∞ A ( b ) = lim b → + ∞ 4 ⋅ ln ( b + 1 ) ︸ → + ∞ + 4 b + 1 ︸ → 0 - 4 = + ∞
Die Funktion f stellt daher für große Zeitwerte keine realistische Modellierung der zeitlichen Entwicklung der Wirkstoffkonzentration dar.
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Teilaufgabe Teil B b
Teilaufgabe Teil B c
Teilaufgabe Teil B d
Teilaufgabe Teil B e
Teilaufgabe Teil B f
Teilaufgabe Teil B g
Teilaufgabe Teil B h
Teilaufgabe Teil B i
Teilaufgabe Teil B j
Teilaufgabe Teil B k
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Flächenberechnung
Grenzwert bestimmen
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