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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 1b  (4 BE)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ im Punkt ${\displaystyle (8|\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(8))}$.

 

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 1b

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Tangentengleichung ermitteln

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${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sqrt{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}-2}$

Tangentengleichung ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ im Punkt ${\displaystyle (8|\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(8))}$:

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichung der Tangente

Formel für die Tangentengleichung:

${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)\cdot {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)+\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0)}$

Hier ist ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0=8}$.

${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)\cdot {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)+\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0\right)}$

${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-8\right)\cdot {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(8\right)+\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(8\right)}$


Nebenrechnungen:

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(8)=\sqrt{9}-2=1}$

Schritt einblenden / ausblenden

Ableitungsregel

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sqrt{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}-2=(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1{)}^{\frac{1}{2}}-2}$

Benötigte Ableitungsregel:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1}}$

Angewendet auf ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$:

${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{1}{2}{\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1\right)}^{\frac{1}{2}-1}+0=\frac{1}{2}{\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}}$

${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\frac{1}{2}{\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1}}}$

${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }(8)=\frac{1}{2\sqrt{8+1}}=\frac{1}{6}}$


${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{6}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-8\right)+1=\frac{1}{6}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\frac{1}{3}}$

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