Abitur 2018 Mathematik Infinitesimalrechnung II

Teilaufgabe Teil A 1 (6 BE)

Gegeben ist die Funktion

f : x \mapsto \sqrt{3 x - 5}

mit maximalem Definitionsbereich

D

. Geben Sie

D

an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von

f

im Punkt

(3 | f (3))

Teilaufgabe Teil A 2 (5 BE)

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

f

mit

f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 25

.
Weisen Sie nach, dass

f

folgende Eigenschaften besitzt:
(1) Der Graph von

f

besitzt an der Stelle

x = 0

die Steigung

- 15

.
(2) Der Graph von

f

besitzt im Punkt

A (5 | f (5))

die

x

-Achse als Tangente.
(3) Die Tangente

t

an den Graphen der Funktion

f

im Punkt

B (- 1 | f (- 1))

kann durch die Gleichung

y = - 36 x - 36

beschrieben werden.

Teilaufgabe Teil A 3 (4 BE)

Die Abbildung zeigt eine nach unten geöffnete Parabel, die zu einer Funktion

f

mit Definitionsbereich

ℝ

gehört. Der Scheitel der Parabel hat die x-Koordinate 3.

Betrachtet wird die in

ℝ

definierte Integralfunktion

F : x \mapsto \int_{3}^{x} f (t) dt

.

Wie viele Nullstellen hat

F

? Machen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung plausibel.

Für jeden Wert von

a

mit

a \in ℝ^{+}

ist eine Funktion

f_{a}

durch

f_{a} (x) = \frac{1}{a} \cdot x^{3} - x

mit

x \in ℝ

gegeben.

Teilaufgabe Teil A 4a (2 BE)

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von

f_{a}

dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe Teil A 4b (3 BE)

Für jeden Wert von

a

besitzt der Graph von

f_{a}

genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von

a

, für den der Graph der Funktion

f_{a}

an der Stelle

x = 3

einen Extrempunkt hat.

Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{f}

einer ganzrationalen Funktion

f

dritten Grades mit Definitionsmenge

ℝ

G_{f}

schneidet die x-Achse bei

x = 0

x = 5

und

x = 10

und verläuft durch den Punkt

(1 | 2)

Teilaufgabe Teil B 1a (4 BE)

Ermitteln Sie einen Funktionsterm von

f

.

(zur Kontrolle: $f (x) = \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 15 x^{2} + 50 x)$ )

Teilaufgabe Teil B 1b (6 BE)

Zeigen Sie, dass

G_{f}

im Punkt

W (5 | 0)

einen Wendepunkt besitzt, und ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente an

G_{f}

im Punkt

W

Teilaufgabe Teil B 1c (4 BE)

G_{f}

geht aus dem Graphen der in

ℝ

definierten Funktion

g : x \mapsto \frac{1}{18} \cdot (x^{3} - 25 x)

durch eine Verschiebung in positive x-Richtung hervor. Ermitteln Sie, um wie viel der Graph von

g

dazu verschoben werden muss. Begründen Sie mithilfe der Funktion

g

, dass der Graph von

f

symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

Im Folgenden wird die in

ℝ

definierte Funktion

F_{1}

mit

F_{1} (x) = \int_{1}^{x} f (t) dt

betrachtet.

Teilaufgabe Teil B 1d (3 BE)

F_{1}

hat für

0 \leq x \leq 10

zwei ganzzahlige Nullstellen. Geben Sie diese an und begründen Sie Ihre Angabe.

Teilaufgabe Teil B 1e (2 BE)

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 1, dass

F_{1}

mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.

Teilaufgabe Teil B 1f (2 BE)

Begründen Sie, dass

F_{1}

höchstens vier Nullstellen hat.

Teilaufgabe Teil B 1g (6 BE)

Für

0 \leq x \leq 5

gilt, dass der Graph von

f

und der Graph einer trigonometrischen Funktion

h

die gleichen Schnittpunkte mit der x-Achse besitzen,
beide nicht unterhalb der x-Achse verlaufen,
jeweils mit der x-Achse eine Fläche des Inhalts $\frac{625}{72}$ einschließen.

Bestimmen Sie einen Term einer solchen Funktion

h

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion

K : x \mapsto x^{3} - 12 x^{2} + 50 x + 20

mit

x \in [0; 9]

beschrieben werden. Dabei gibt

K (x)

die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von x Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von

K

Teilaufgabe Teil B 2a (3 BE)

Geben Sie mithilfe von Abbildung 2

$α)$ die Produktionsmenge an, bei der die Kosten 125 000 Euro betragen.

$β)$ das Monotonieverhalten von

K

an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.

Die Funktion

E

mit

E (x) = 23 x

gibt für

0 \leq x \leq 9

den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von x Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion

G

gilt

G (x) = E (x) - K (x)

. Positive Werte von

G

werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

Teilaufgabe Teil B 2b (2 BE)

Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

Teilaufgabe Teil B 2c (3 BE)

Zeichnen Sie den Graphen von

E

in Abbildung 2 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.

Teilaufgabe Teil B 2d (5 BE)

Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1

Teilaufgabe Teil A 2

Teilaufgabe Teil A 3

Teilaufgabe Teil A 4a

Teilaufgabe Teil A 4b

Teilaufgabe Teil B 1a

Teilaufgabe Teil B 1b

Teilaufgabe Teil B 1c

Teilaufgabe Teil B 1d

Teilaufgabe Teil B 1e

Teilaufgabe Teil B 1f

Teilaufgabe Teil B 1g

Teilaufgabe Teil B 2a

Teilaufgabe Teil B 2b

Teilaufgabe Teil B 2c

Teilaufgabe Teil B 2d

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