Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (5 BE)

Ein Teil der Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck

C D S

dargestellt wird, kann mithilfe zweier vertikal stehender Stangen der Länge

1, 80 m

zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende

1, 40 m

breite Öffnung in der Zeltwand wird im Modell durch ein Rechteck dargestellt, das symmetrisch zu

g

liegt. Dabei liegt eine Seite dieses Rechtecks auf der Strecke

[C D]

. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vordachs.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Koordinaten von Punkten ermitteln

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g : \vec{X} = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ - 12 \end{matrix})

(s. Teilaufgabe Teil B e)

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 5 + 5 λ \\ - 12 λ \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Der Punkt

M^{*}

liegt auf der Geraden

g

und hat nach Konstruktion einen Abstand von der horizontalen Ebene von 1,8 m.

Seine

x_{3}

-Koordinate hat somit den Wert 1,8.

- 12 λ = 1, 8

\Rightarrow

λ = - 0, 15

\vec{M^{*}} = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) - 0, 15 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ - 12 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 4, 25 \\ 1, 8 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Strecke

[M M^{*}]

entspricht der Höhe der Öffnung bzw. des Vordachs.

\vec{M M^{*}} = \vec{M^{*}} - \vec{M} = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 4, 25 \\ 1, 8 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2, 5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 0, 75 \\ 1, 8 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{M M^{*}} | = \sqrt{(- 0, 75)^{2} + 1, 8^{2}}

A = 1, 4 \cdot \sqrt{(- 0, 75)^{2} + 1, 8^{2}} \approx 2, 73 m^{2}

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