Lösung Abitur Bayern 2017 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (3 BE)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

F

, in der das Dreieck

D A S

liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: $F : 12 x_{1} - 5 x_{3} = 0$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Ebene aus drei Punkte

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Richtungsvektoren der Ebene

F

\vec{A D} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A S} = \vec{S} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 2, 5 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 2, 5 \\ 6 \end{matrix})

A (0 | 0 | 0)

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

F

Ebenengleichung in Normalenform

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Normalenvektor

\vec{n_{F}}

der Ebene

F

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2, 5 \\ 2, 5 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \cdot 6 - 0 \\ 0 - 0 \\ 0 - 5 \cdot 2, 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 30 \\ 0 \\ - 12, 5 \end{matrix})

\vec{A D} \times \vec{A S} = (\begin{matrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2, 5 \\ 2, 5 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 30 \\ 0 \\ - 12, 5 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

\frac{2}{5}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\Rightarrow

\vec{n_{F}} = \frac{2}{5} \cdot (\begin{matrix} 30 \\ 0 \\ - 12, 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

A

ist Aufpunkt):

F : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 12 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}}

F : 12 x_{1} - 5 x_{3} = 0

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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