Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2 (7 BE)

Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede 20. Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorle-Flaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als 0,05 ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.

Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von 200 zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese "Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens

0, 05

." auf einem Signifikanzniveau von

1 %

durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.
Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimmen Sie anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur

3 %

der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2

Hypothesentest - Annahmebereich und Ablehnungsbereich

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Text analysieren und Daten herauslesen:

Nullhypothese:

H_{0} : p \geq 0, 05

Stichprobenumfang:

n = 200

Signifikanzniveau:

α = 1 %

Annahmebereich von

H_{0}

A = [k + 1, 200]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [0, k]

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Nullhypothese

Da hier die Nullhypothese "

p \geq 0, 05

" bzw. "mindestens

0, 05

" lautet, liegt der Annahmebereich rechts und der Ablehnungsbereich links.

Fehler 1. Art bestimmen:

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Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art", wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall, wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

Z \leq k

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 05}^{200} (Z \leq k) \leq 0, 01

P_{0, 05}^{200} (Z \leq k) \leq 0, 01

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k \leq 3

\Rightarrow

Ablehnungsbereich

\bar{A} = {0; 1; 2; 3}

Wahrscheinlichkeit

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Annahme:

p = 3 % = 0, 03

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Erläuterung

"Ermitteln Sie (...) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt."

Liegt das Ergebnis des Tests im Annahmebereich, gibt es keine kostenlose Sonderwerbeaktion

\Rightarrow

X \geq 4

Gesucht:

P_{0, 03}^{200} (X \geq 4)

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Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P ("mindestens k Treffer") = 1 - P ("weniger als k Treffer")

In mathematischen Zeichen:

P (X \geq k) = 1 - P (X < k)

bzw.

P (X \geq k) = 1 - P (X \leq k - 1)

P_{0, 03}^{200} (X \geq 4) = 1 - P_{0, 03}^{200} (X \leq 3) \overset{Tafelwerk}{=} 1 - 0, 14715 = 0, 85285 \approx 85, 3 %

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Annahmebereich und Ablehnungsbereich

Wahrscheinlichkeit

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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