Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 2b (3 BE)

Die Zufallsgröße

X

ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von

X

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 2b

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle erstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Anzahl der benötigten Münzwürfe kann entweder 2 oder 3 sein.

Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit zwei Würfe:

P (ZZ) = P (Z) \cdot P (Z) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit drei Würfe:

P (WWW) = P (W) \cdot P (W) \cdot P (W) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

Daraus folgt:

Wahrscheinlichkeit für 2 Würfe:

P (X = 2) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Wahrscheinlichkeit für 3 Würfe:

P (X = 3) = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}

Erwartungswert

E (X)

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für den Erwartungswert dieser Zufallsgröße:

E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i}) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

E (X) = 2 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2, 5

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Lösung als Video:

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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