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Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1e  (3 BE)

Berechnen Sie den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der 20 Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.

 

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1e

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

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${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0,05}$ (Flasche enthält Gewinnmarke)

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0,044}$ (Flasche enthält 1 € Gewinnmarke)

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\text{"Flasche enthält 5 € Gewinnmarke"})=\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=0,05-0,044=0,006}$


Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle:

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße ${\displaystyle \mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ die Werte ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,\dots ,{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle {\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1,{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2,\dots ,{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ an, so gilt für den Erwartungswert dieser Zufallsgröße:

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\sum _{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}})={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+\dots +{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{Y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=1\cdot 0,044+5\cdot 0,006+0\cdot 0,95=0,074}$ €

${\displaystyle 20\cdot 0,074=1,48}$ €

Ein Kunde erhält beim Öffnen von 20 Flaschen im Schnitt 1,48 €.

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