Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.1 (6 BE)

Ein Planschbecken soll entsprechend folgender Skizze hergestellt werden, wobei der Boden und die Wand luftgefüllte Hohlkammern mit einer Dicke von 10 cm sind. Die Summe aus Radius

R

und Höhe

h

soll konstant 90 cm betragen.

Stellen Sie eine Gleichung der Funktion

V

auf, welche die Maßzahl des Volumens des mit Luft gefüllten Teils des Planschbeckens in Abhängigkeit von

R

beschreibt.

[Mögliches Ergebnis:

V (R) = π (- 10 R^{2} + 1700 R - 8000)

]

Lösung zu Teilaufgabe 4.1

Volumen eines Zylinders

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Nebenbedingung:

"Die Summe aus Radius ..."

\Rightarrow

90 = R + h

\Rightarrow

h = 90 - R

V = V_{Zylinder außen} - V_{Zylinder innen}

V = R^{2} \cdot π \cdot h - (R - 10)^{2} \cdot π \cdot (h - 10)

V = R^{2} \cdot π \cdot (90 - R) - (R - 10)^{2} \cdot π \cdot (90 - R - 10)

V = R^{2} \cdot π \cdot (90 - R) - (R^{2} - 20 R + 100) \cdot π \cdot (80 - R)

V = π \cdot [R^{2} \cdot (90 - R) - (R^{2} - 20 R + 100) \cdot (80 - R)]

V = π \cdot [90 R^{2} - R^{3} - (80 R^{2} - R^{3} - 1600 R + 20 R^{2} + 8000 - 100 R)]

V = π \cdot (- 10 R^{2} + 1700 R - 8000)

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Themen dieser Aufgabe:

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