Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.2 (8 BE)

Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen

G_{f}

Lösung zu Teilaufgabe 1.2

Monotonieverhalten einer Funktion

Erste Ableitung bilden:

f^{'} (x) = - \frac{1}{4} (3 x^{2} + 16 x + 16)

Erste Ableitung gleich Null setzen:

f^{'} (x) = 0

0 = - \frac{1}{4} (3 x^{2} + 16 x + 16)

0 = 3 x^{2} + 16 x + 16

x_{1, 2} = \frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3} = \frac{- 16 \pm 8}{6}

\Rightarrow

x_{1}^{E} = - \frac{4}{3}

;

x_{2}^{E} = - 4

Skizze von

f^{'}

f^{'} (x) > 0

für

x \in] - 4; - \frac{4}{3} [

\Rightarrow

G_{f}

ist streng monoton steigend für

x \in [- 4; - \frac{4}{3}]

f^{'} (x) < 0

für

x \in] - \infty; - 4 [\cup] - \frac{4}{3}; \infty [

\Rightarrow

G_{f}

ist streng monoton fallend für

x \in] - \infty; - 4] \cup [- \frac{4}{3}; \infty [

Lage von Extrempunkten ermitteln

y_{1}^{E} = f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} \approx 2, 37

y_{2}^{E} = f (- 4) = 0

Art von Extrempunkten ermitteln

Aus dem Monotonieverhalten folgt:

E_{1} (- \frac{4}{3} | \frac{64}{27})

ist ein Hochpunkt und

E_{2} (- 4 | 0)

ein Tiefpunkt.

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Themen dieser Aufgabe:

Monotonieverhalten einer Funktion

Lage von Extrempunkten ermitteln

Art von Extrempunkten ermitteln

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