Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 3d (4 BE)

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade

g

mit der Gleichung

y = - \frac{4}{3} x + 12

modelliert.

Zeigen Sie, dass die Tangente

t

an den Graphen von

f

im Punkt

R (4 | f (4))

parallel zu

g

verläuft. Zeichnen Sie

g

und

t

in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 3d

Steigung eines Funktionsgraphen

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f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}

Erste Ableitung bilden:

Schritt einblenden / ausblenden

Potenzregel

a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}

\Rightarrow

\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = a^{\frac{1}{2}}

f^{'} (x) = {[{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}^{'}

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

Kettenregel:

f (x) = u (v (x))

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Hier ist

u (x) = (\dots)^{\frac{1}{2}}

und

v (x) = 25 - x^{2}

.
Dann ist

u^{'} (x) = \frac{1}{2} (\dots)^{- \frac{1}{2}}

und

v^{'} (x) = - 2 x

f^{'} (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \cdot (- 2 x) = - \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}

Schritt einblenden / ausblenden

Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente an den Graphen einer Funktion an der Stelle

x_{0}

, ist gleich dem Wert der ersten Ableitung der Funktion an der Stelle

x_{0}

f^{'} (4) = - \frac{4}{\sqrt{25 - 16}} = - \frac{4}{3}

stimmt mit der Steigung von g überein.

\Rightarrow

t

und

g

sind parallel

Skizze

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