Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2a (5 BE)

Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ

k : x \mapsto 5 \cdot \cos (c \cdot x)

mit

c \in ℝ

und Definitionsbereich

D_{k} = [- 5; 5]

, bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

Bestimmen Sie

c

so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels.

(zur Kontrolle:

c = \frac{π}{10}

, Inhalt der Querschnittsfläche:

\frac{100}{π} m^{2}

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2a

Funktionsgleichung ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

k (x) = 5 \cdot \cos (c \cdot x)

D_{k} = [- 5; 5]

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Damit Bedingung I erfüllt ist, muss die Funktion

k

an den Stellen

x = \pm 5

Nullstellen besitzen.

Bedingung I:

k (- 5) = k (5) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen der Kosinusfunktion

Die Nullstellen der Kosinusfunktion, sprich die Schnittpunkte der Funktion mit der

x

-Achse, wiederholen sich periodisch.

Nullstellen:

x = 0, \pm \frac{π}{2}, \pm \frac{3 π}{2}, \pm \frac{5 π}{2} . . .

k (- 5) = 5 \cdot \cos (- 5 c) = 0

\Leftrightarrow

- 5 c = - \frac{π}{2}

k (5) = 5 \cdot \cos (5 c) = 0

\Leftrightarrow

5 c = \frac{π}{2}

\Rightarrow

c = \frac{π}{10}

Flächenberechnung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die Fläche die

G_{k}

mit der x-Achse zwischen

- 5

und

5

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

A = \int_{- 5}^{5} k (x) dx

A = \int_{- 5}^{5} k (x) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Achsensymmetrie

Der Graph der Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch, die Fläche die

G_{k}

mit der x-Achse zwischen

- 5

und

5

einschließt ist dopplet so groß, wie die Fläche zwischen

0

und

5

A = 2 \cdot \int_{0}^{5} 5 \cdot \cos (\frac{π}{10} \cdot x) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenregeln für Integrale

\int_{a}^{b} c \cdot f (x) dx

=

c \cdot \int_{a}^{b} f (x) dx

A = 10 \cdot \int_{0}^{5} \cos (\frac{π}{10} \cdot x) dx

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\cos (\frac{π}{10} \cdot x)

(siehe auch Merkhilfe Mathematik):

\int f (a x + b) dx

=

\frac{1}{a} F (a x + b) + C

(

F

Stammfunktion von

f

)

Ein Stammfunktion von

\cos x

ist

\sin x

A = 10 \cdot {[\frac{1}{\frac{π}{10}} \cdot \sin (\frac{π}{10} \cdot x)]}_{0}^{5}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = 10 \cdot [\frac{10}{π} \cdot \underset{1}{\underset{︸}{\sin (\frac{π}{2})}} - \frac{10}{π} \cdot \underset{0}{\underset{︸}{\sin (0)}}] = \frac{100}{π} m^{2}

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Funktionsgleichung ermitteln

Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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