Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Stochastik S I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2 (6 BE)

Berechnen Sie mit den Werten für

a

und

b

aus Aufgabe 2.1, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich die Zufallswerte um mehr als die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert unterscheiden und schraffieren Sie die zugehörige Fläche im Histogramm von 2.1.

Lösung zu Teilaufgabe 2.2

Varianz einer Zufallsgröße

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μ = E (X) = 18, 48

Schritt einblenden / ausblenden

Varianz einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für die Varianz dieser Zufallsgröße:

V a r (X) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2} \cdot p_{i}

(

μ = E (X) =

Erwartungswert von

X

)

V a r (X) = {(x_{1} - μ)}^{2} \cdot p_{1} + {(x_{2} - μ)}^{2} \cdot p_{2} + \dots + {(x_{n} - μ)}^{2} \cdot p_{n}

\begin{matrix} V a r (x) & = & (5 - 18, 48)^{2} \cdot 0, 1 + (7 - 18, 48)^{2} \cdot 0, 16 \\ + \\ (9 - 18, 48)^{2} \cdot 0, 08 + (12 - 18, 48)^{2} \cdot 0, 03 \\ + \\ (22 - 18, 48)^{2} \cdot 0, 31 + (28 - 18, 48)^{2} \cdot 0, 32 \end{matrix}

V a r (X) = 80, 5496

Alternative Berechnung der Varianz über die Verschiebungsregel:

E (X^{2}) = 5^{2} \cdot 0, 1 + 7^{2} \cdot 0, 16 + 9^{2} \cdot 0, 08 + 12^{2} \cdot 0, 03 + 22^{2} \cdot 0, 31 + 28^{2} \cdot 0, 32 = 422, 06

V a r (X) = E (X^{2}) - μ^{2} = 422, 06 - 18, 48^{2} = 80, 5496

Standardabweichung bestimmen:

σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{80, 5496} \approx 8, 97

Wahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeit bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

"um mehr als die einfache Standardabweichung vom Erwartungswert" =

| X - μ | > σ

Die Ungleichung

| X - μ | > σ

ist gleichbedeutend zu

μ - σ > X > μ + σ

P (| X - μ | > σ) = P (μ - σ > X > μ + σ)

P (| X - 18, 48 | > 8, 97) = P (9, 51 > X > 27, 45)

P (| X - 18, 48 | > 8, 97) = P (X < 9, 51) + P (X > 27, 45)

P (| X - 18, 48 | > 8, 97) = P (X = 5) + P (X = 7) + P (X = 9) + P (X = 28)

P (| X - 18, 48 | > 8, 97) = 0, 1 + 0, 16 + 0, 08 + 0, 32 = 0, 66

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Varianz einer Zufallsgröße

Wahrscheinlichkeit

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