Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Stochastik S I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.1 (7 BE)

Ein Medikament wird in zwei Varianten (normal und plus) sowie in drei verschiedenen Packungsgrößen (

N 1

N 2

und

N 3

) angeboten. Der Verkaufspreis in Euro wird als Zufallsgröße

X

aufgefasst. Dabei ergibt sich mit

a, b \in ℝ

folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

Bestimmen Sie die Werte von

a

und

b

, wenn

E (X) = 18, 48

gilt, und stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung in einem Histogramm dar.
[Teilergebnis:

a = 0, 16

]

Lösung zu Teilaufgabe 2.1

Erwartungswert einer Zufallsgröße

E (X) = 18, 48

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für den Erwartungswert dieser Zufallsgröße:

E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i}) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

(I)

18, 48 = 5 \cdot 0, 1 + 7 a + 9 b + 12 \cdot (b - 0, 05) + 22 \cdot (a + 0, 15) + 28 \cdot 2 a

(I)

18, 48 = 0, 5 + 7 a + 9 b + 12 b - 0, 6 + 22 a + 3, 3 + 56 a

(I)

15, 28 = 85 a + 21 b

Schritt einblenden / ausblenden

(II)

0, 1 + a + b + b - 0, 05 + a + 0, 15 + 2 a = 1

(II)

4 a + 2 b = 0, 8

Gleichung (II) nach b lösen:

2 b = 0, 8 - 4 a

\Rightarrow

b = 0, 4 - 2 a

b = 0, 4 - 2 a

in (I) einsetzen:

15, 28 = 85 a + 21 \cdot (0, 4 - 2 a)

15, 28 = 85 a + 8, 4 - 42 a

\Rightarrow

6, 88 = 43 a

\Rightarrow

a = 0, 16

a = 0, 16

b = 0, 4 - 2 a

einsetzen:

b = 0, 08

Histogramm:

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Themen dieser Aufgabe:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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