Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (6 BE)

Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt

t_{0}

auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor

\vec{u} = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ - 13 \end{matrix})

dargestellt.

Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt

S

dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade

g

durch

S

mit Richtungsvektor

\vec{u} = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ - 13 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

λ \in ℝ

g : \vec{X} = \underset{\vec{S}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 4, 5 \\ 0 \\ 4, 5 \end{matrix})}} + λ \cdot \underset{\vec{u}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ - 13 \end{matrix})}}

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E : 4 x_{1} + 5 x_{3} - 20 = 0

Ebene

E

und Gerade

g

schneiden:

E \cap g

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

l

E

eingesetzt und nach

λ

aufgelöst.

\begin{matrix} E \cap g : & 4 \cdot (4, 5 + 6 λ) + 5 \cdot (4, 5 - 13 λ) - 20 & = & 0 \\ 18 + 24 λ + 22, 5 - 65 λ - 20 & = & 0 \\ - 41 λ + 20, 5 & = & 0 \\ λ & = & \frac{20, 5}{41} \\ λ & = & \frac{1}{2} \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, wird der gefundene

λ

-Wert in die Geradengleichung eingesetzt.

\vec{S^{'}} = (\begin{matrix} 4, 5 \\ 0 \\ 4, 5 \end{matrix}) + \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ - 13 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7, 5 \\ 3 \\ - 2 \end{matrix})

\Rightarrow

S^{'} (7, 5 | 3 | - 2)

S^{'}

liegt außerhalb des Rechtecks

A B C D

, da seine

x_{3}

-Koordinate negativ ist.

Somit liegt der Schatten der Polstabspitze

S

außerhalb der rechteckigen Grundplatte.

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Schnitt Ebene und Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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