Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (5 BE)

Abbildung 1 zeigt eine Sonnenuhr mit einer gegenüber der Horizontalen geneigten, rechteckigen Grundplatte, auf der sich ein kreisförmiges Zifferblatt befindet. Auf der Grundplatte ist der Polstab befestigt, dessen Schatten bei Sonneneinstrahlung die Uhrzeit auf dem Zifferblatt anzeigt.
Eine Sonnenuhr dieser Bauart wird in einem kartesischen Koordinatensystem modellhaft dargestellt (vgl. Abbildung 2). Dabei beschreibt das Rechteck

A B C D

mit

A (5 | - 4 | 0)

und

B (5 | 4 | 0)

die Grundplatte der Sonnenuhr. Der Befestigungspunkt des Polstabs auf der Grundplatte wird im Modell durch den Diagonalenschnittpunkt

M (2, 5 | 0 | 2)

des Rechtecks

A B C D

dargestellt. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht

10

cm in der Realität. Die Horizontale wird im Modell durch die

x_{1} x_{2}

-Ebene beschrieben.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts

C

. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

E

, in der das Rechteck

A B C D

liegt, in Normalenform.

(mögliches Teilergebnis:

E : 4 x_{1} + 5 x_{3} - 20 = 0

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Lage eines Punktes

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A (5 | - 4 | 0)

B (5 | 4 | 0)

M (2, 5 | 0 | 2)

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A M} = \vec{M} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2, 5 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2, 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})

\vec{C} = \vec{A} + 2 \cdot \vec{A M} = (\begin{matrix} 5 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} - 2, 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})

\Rightarrow

C (0 | 4 | 4)

Ebene aus drei Punkte

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Richtungsvektoren der Ebene

E

\vec{A B} = (\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A M} = (\begin{matrix} - 2, 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})

A (5 | - 4 | 0)

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

E

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 2, 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \cdot 2 - 0 \cdot 4 \\ 0 \cdot (- 2, 5) - 0 \cdot 2 \\ 0 \cdot 4 - 8 \cdot (- 2, 5) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 20 \end{matrix})

\vec{A B} \times \vec{A M} = (\begin{matrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 2, 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 20 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = \frac{1}{4} \cdot (\begin{matrix} 16 \\ 0 \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

A

ist Aufpunkt):

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = \underset{\vec{A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 5 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})}} \circ (\begin{matrix} 4 \\ 0 \\ 5 \end{matrix})

E : 4 x_{1} + 5 x_{3} = 20 + 0 + 0

E : 4 x_{1} + 5 x_{3} - 20 = 0

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Teilaufgabe Teil A 1a

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Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lage eines Punktes

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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