Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 1a (3 BE)

Die Gerade

g

verläuft durch die Punkte

A (0 | 1 | 2)

und

B (2 | 5 | 6)

Zeigen Sie, dass die Punkte

A

und

B

den Abstand

6

haben.
Die Punkte

C

und

D

liegen auf

g

und haben von

A

jeweils den Abstand

12

. Bestimmen Sie die Koordinaten von

C

und

D

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 1a

Länge eines Vektors

A (0 | 1 | 2)

B (2 | 5 | 6)

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\bar{A B} = | \vec{A B} | = | (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) | = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6

Lage eines Punktes

\vec{C} = \vec{A} + 2 \cdot \vec{A B} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 9 \\ 10 \end{matrix})

\Rightarrow

C (4 | 9 | 10)

\vec{D} = \vec{A} - 2 \cdot \vec{A B} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) - 2 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ - 7 \\ - 6 \end{matrix})

\Rightarrow

D (- 4 | - 7 | - 6)

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Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

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Themen dieser Aufgabe:

Länge eines Vektors

Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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