Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2a (4 BE)

Der JIM-Studie zufolge besitzen deutlich weniger als

90 %

der Jugendlichen einen Computer. Daher wird an den Stadtrat einer Kleinstadt der Wunsch herangetragen, im örtlichen Jugendzentrum einen Arbeitsraum mit Computern einzurichten. Der Stadtrat möchte die dafür erforderlichen finanziellen Mittel nur dann bewilligen, wenn weniger als

90 %

der Jugendlichen der Kleinstadt einen Computer besitzen.

Die Entscheidung über die Bewilligung der finanziellen Mittel soll mithilfe einer Befragung von

100

zufällig ausgewählten 12- bis 19-jährigen Jugendlichen der Kleinstadt getroffen werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens

5 %

betragen. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel, bei der zugleich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich nicht bewilligt werden, möglichst klein ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2a

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Text analysieren und Daten herauslesen:

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Signifikanzniveau

Hypothesentest

Die Nullhypothese versteckt sich im Text in den Sätzen "Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die finanziellen Mittel irrtümlich bewilligt werden, soll höchstens

5 %

betragen" und "... nur dann bewilligen, wenn weniger als

90 %

...".

Die

5 %

stehen für das Signifikanzniveau, also die Wahrscheinlichkeit, mit der die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird, obwohl sie eigentlich richtig ist (Fehler erster Art oder

α

-Fehler).

"Irrtümlich bewilligen" ist gleich zu "fälschlicherweise ablehnen".

Die Ablehnung ist somit die Nullhypothese. Diese findet statt, wenn mindestens (Gegenteil zu weniger)

90 %

der Jugendlichen einen Computer besitzen.

Nullhypothese:

H_{0} : p \geq 0, 9

Stichprobenumfang:

n = 100

Signifikanzniveau:

α = 5 %

Annahmebereich von

H_{0}

A = [k + 1, 100]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [0, k]

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Nullhypothese

Da hier die Nullhypothese "

p \geq 0, 9

" bzw. "Mindestens

90 %

" lautet, liegt der Annahmebereich rechts und der Ablehnungsbereich links.

Fehler 1. Art bestimmen:

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Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art", wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall, wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

Z \leq k

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 9}^{100} (Z \leq k) \leq 0, 05

P_{0, 9}^{100} (Z \leq k) \leq 0, 05

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k = 84

Entscheidungsregel:

Die Bewilligung der finanziellen Mittel findet statt, wenn höchstens 84 Jugendliche einen PC besitzen.

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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