Lösung Abitur Bayern 2014 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 3 (3 BE)

Die Zufallsgröße

X

kann die Werte

0

1

2

und

3

annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von

X

mit

p_{1}, p_{2} \in [0; 1]

Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von

X

nicht größer als

2, 2

sein kann.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 3

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Erwartungswert

E (X)

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße

X

bei

n

Versuchen (hier 4), ist definiert als:

E_{n} (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i})

In diesem Fall:

E (X) = \sum_{i = 1}^{4} k_{i} \cdot P (X = k_{i})

E (X) = 0 \cdot p_{1} + 1 \cdot \frac{3}{10} + 2 \cdot \frac{1}{5} + 3 \cdot p_{2}

E (X) = \frac{7}{10} + 3 p_{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Es gilt:

p_{1} + \frac{3}{10} + \frac{1}{5} + p_{2} = 1

Daraus folgt:

p_{1} + p_{2} = \frac{1}{2}

p_{2}

kann somit maximal den Wert

\frac{1}{2}

haben (wenn

p_{1} = 0

p_{2} \leq \frac{1}{2}

Einsetzen in

E (X)

E (X) \leq \frac{7}{10} + 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{22}{10} = 2, 2

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Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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