Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3a (4 BE)

Nach der Wahl darf die Partei A in einem Ausschuss drei Sitze besetzen. Von den acht Stadträtinnen und vier Stadträten der Partei A, die Interesse an einem Sitz in diesem Ausschuss äußern, werden drei Personen per Losentscheid als Ausschussmitglieder bestimmt.

Die Zufallsgröße

X

beschreibt die Anzahl der weiblichen Ausschussmitglieder der Partei A. Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße

X

mit

P (X = 0) = \frac{1}{55}

und

P (X = 3) = \frac{14}{55}

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten

P (X = 1)

und

P (X = 2)

(Ergebnis: $P (X = 1) = \frac{12}{55}$ , $P (X = 2) = \frac{28}{55}$ )

Lösung zu Teilaufgabe 3a

Ziehen ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

8 weibliche (w) und 4 männliche (m) Stadträte.

3 von 12 werden ausgewählt.

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Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Es handelt sich hier um 3-maliges Ziehen ohne Reihenfolge (wer wann ausgewählt wird, ist irrelevant) und ohne Zurücklegen (eine Person kann nur einmal ausgewählt werden).

Stichwort: "Lottoprinzip" bzw. hypergeometrische Verteilung:

P (X) = \frac{Anzahl Treffer \cdot Anzahl Nieten}{| Ω |}

1 weiblicher Stadtrat (aus 8) wird ausgewählt:

\Rightarrow | Treffer | = (\binom{8}{1})

2 männliche Stadträte (aus 4) werden ausgewählt:

\Rightarrow | Niete | = (\binom{4}{2})

3 Personen werden aus 12 ausgewählt:

\Rightarrow | Ω | = (\binom{12}{3})

Merkhilfe zur Kontrolle:

P (X = 1) = \frac{(\binom{8}{1}) \cdot (\binom{4}{2})}{(\binom{12}{3})} = \frac{12}{55}

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Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

P (X) = \frac{Anzahl Treffer \cdot Anzahl Nieten}{| Ω |}

2 weibliche Stadträte (aus 8) werden ausgewählt:

\Rightarrow | Treffer | = (\binom{8}{2})

1 männlicher Stadtrat (aus 4) wird ausgewählt:

\Rightarrow | Niete | = (\binom{4}{1})

3 Personen werden aus 12 ausgewählt:

\Rightarrow | Ω | = (\binom{12}{3})

Merkhilfe zur Kontrolle:

P (X = 2) = \frac{(\binom{8}{2}) \cdot (\binom{4}{1})}{(\binom{12}{3})} = \frac{28}{55}

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

P (X = 1) = \overset{1 x w}{\overset{︷}{\frac{8}{12}}} \cdot \overset{1 x m}{\overset{︷}{\frac{4}{11}}} \cdot \overset{1 x m}{\overset{︷}{\frac{3}{10}}} \cdot \underset{Durchschieben}{\underset{︸}{3}} = \frac{12}{55}

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Wahrscheinlichkeit

P (X = 1)

ist die Wahrscheinlichkeit, dass 1 weiblicher Stadtrat gewählt wird. Die anderen zwei sind also männlich.

Bei der ersten Auswahl stehen 8 weibliche von insgesamt 12 Stadträte zu Verfügung:

p (1 x w) = \frac{8}{12}

Ist bei der ersten Auswahl ein weiblicher Stadtrat gewählt worden, so bleiben für die zweite Auswahl 4 männliche von insgesamt 11 Stadträte zu Verfügung:

p (1 x m) = \frac{4}{11}

Ist bei der zweiten Auswahl ein männlicher Stadtrat gewählt worden, so bleiben für die dritte Auswahl 3 männliche von insgesamt 10 Stadträte zu Verfügung:

p (1 x m) = \frac{3}{10}

Die Reihenfolge der Auswahl ist nicht wichtig. Der weibliche Stadtrat kann an erster, zweiter oder an dritter Stelle gewählt werden. Also 3 verschiedene Möglichkeiten der Auswahl. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten müssen somit noch mit 3 multipliziert werden ("Durchschieben").

P (X = 2) = \overset{w}{\overset{︷}{\frac{8}{12}}} \cdot \overset{w}{\overset{︷}{\frac{7}{11}}} \cdot \overset{m}{\overset{︷}{\frac{4}{10}}} \cdot \underset{Durchschieben}{\underset{︸}{3}} = \frac{28}{55}

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Wahrscheinlichkeit

P (X = 2)

ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 weibliche Stadträte gewählt werden. Der dritte ist also männlich.

Bei der ersten Auswahl stehen 8 weibliche von insgesamt 12 Stadträte zu Verfügung:

p (1 x w) = \frac{8}{12}

Ist bei der ersten Auswahl ein weiblicher Stadtrat gewählt worden, so bleiben für die zweite Auswahl 7 weibliche von insgesamt 11 Stadträte zu Verfügung:

p (1 x w) = \frac{7}{11}

Ist bei der zweiten Auswahl ein weiblicher Stadtrat gewählt worden, so bleiben für die dritte Auswahl 4 männliche von insgesamt 10 Stadträte zu Verfügung:

p (1 x m) = \frac{4}{10}

Die Reihenfolge der Auswahl ist nicht wichtig. Der männliche Stadtrat kann an erster, zweiter oder an dritter Stelle gewählt werden. Also 3 verschiedene Möglichkeiten der Auswahl. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten müssen somit noch mit 3 multipliziert werden ("Durchschieben").

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Teilaufgabe 3c

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Themen dieser Aufgabe:

Ziehen ohne Reihenfolge ohne Zurücklegen

Alternative Lösung

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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