Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Der Umfrage zufolge hätte der Kandidat der Partei A etwa

50 %

aller Stimmen erhalten, wenn die Wahl zum Zeitpunkt der Befragung stattgefunden hätte. Ein Erfolg im ersten Wahlgang, für den mehr als

50 %

aller Stimmen erforderlich sind, ist demnach fraglich. Deshalb rät die von der Partei A eingesetzte Wahlkampfberaterin in der Endphase des Wahlkampfs zu einer zusätzlichen Kampagne. Der Schatzmeister der Partei A möchte die hohen Kosten, die mit einer zusätzlichen Kampagne verbunden wären, jedoch möglichst vermeiden.

Um zu einer Entscheidung über die Durchführung einer zusätzlichen Kampagne zu gelangen, soll die Nullhypothese "Der Kandidat der Partei A würde gegenwärtig höchstens

50 %

aller Stimmen erhalten." mithilfe einer Stichprobe von 200 Wahlberechtigten auf einem Signifikanzniveau von

5 %

getestet werden. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Text analysieren und Daten herauslesen:

Nullhypothese:

H_{0} : p \leq 0, 5

Stichprobenumgang:

n = 200

Signifikanzniveau:

α = 5 %

Annahmebereich von

H_{0}

A = [0, k]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [k + 1, 200]

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Nullhypothese

Weil die Nullhypothese "Der Kandidat der Partei A würde gegenwärtig höchstens

50 %

aller Stimmen erhalten." lautet, liegt der Annahmebereich links und der Ablehnungsbereich rechts.

Fehler 1.Art bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art" wenn, die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

Z \geq k + 1

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 5}^{200} (Z \geq k + 1) \leq 0, 05

P_{0, 5}^{200} (Z \geq k + 1) \leq 0, 05

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P(mindestens k+1 Treffer) = 1 - P(höchstens k Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \geq k + 1) = 1 - P (Z \leq k)

1 - P_{0, 5}^{200} (Z \leq k) \leq 0, 05

|

- 1

- P_{0, 5}^{200} (Z \leq k) \leq - 0, 95

|

\cdot (- 1)

(da die Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert wird, ändert sich das Relationszeichen)

P_{0, 5}^{200} (Z \leq k) \geq 0, 95

Aus dem Tafelwerk ablesen:

k = 112

\Rightarrow

Z = 113

wird die Nullhypothese abgelehnt

Entscheidungsregel:

Ablehnungsbereich

\bar{A} = {113, 114, \dots, 200}

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

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