Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Folgende Tabelle gibt für die verschiedenen Empfänger von Spenderblut an, welches Spenderblut für sie jeweils geeignet ist:

Für einen Patienten mit der Blutgruppe B und dem Rhesusfaktor Rh- wird Spenderblut benötigt. Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssten, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

95 %

mindestens eine für diesen Patienten geeignete Blutspende erhält.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Binomialverteilung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Text analysieren:

"...mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als

95 %

..."

\Rightarrow

P > 0, 95

"... mindestens eine geeignete Blutspende..."

\Rightarrow

Z \geq 1

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Aus der Spender/Empfänger-Tabelle entnimmt man, dass sich für ein Empfänger mit Blutgruppe B und dem Rhesusfaktor Rh- Blutspenden des Typs 0 Rh- und B Rh- eignen.

Aus der Tabelle in Teilaufgabe 1a entnimmt man, dass:

p (0 Rh-) = 6 %

p (B Rh-) = 2 %

"... Patienten mit der Blutgruppe B und dem Rhesusfaktor Rh- "

\Rightarrow

p = 6 % + 2 % = 8 % = 0, 08

Es muss also gelten:

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Kette

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette der Länge

n

mit der Trefferwahrscheinlichkeit

p = 0, 08

angesehen werden.

P_{0, 08}^{n} (Z \geq 1) > 0, 95

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Wahrscheinlichkeiten des Typs

P (mind. 1 Treffer)

können meist leicht über das Gegenereignis bestimmt werden.

P (mind. 1 Treffer) = 1 - P (kein Treffer)

1 - P_{0, 08}^{n} (Z = 0) > 0, 95

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

Spezialfall

k = 0

P (0 Treffer) = P_{p}^{n} (Z = 0) = \underset{1}{\underset{︸}{(\binom{n}{0})}} \cdot \underset{1}{\underset{︸}{p^{0}}} \cdot (1 - p)^{n - 0}

\Rightarrow P (0 Treffer) = (1 - p)^{n}

1 - 0, 92^{n} > 0, 95

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

1 - 0, 92^{n} > 0, 95

|

umstellen

0, 92^{n} < 1 - 0, 95

|

logarithmieren

\ln (0, 92^{n}) < \ln (1 - 0, 95)

n \cdot \ln 0, 92 < \ln (1 - 0, 95)

(da die Ungleichung durch eine negative Zahl geteilt wird, ändert sich das Relationszeichen)

n > \frac{\ln (1 - 0, 95)}{\ln 0, 92}

n > \frac{\ln (1 - 0, 95)}{\ln 0, 92} \approx 35, 93

n \geq 36

Es müssen mindestens 36 zufällig ausgewählte Personen Blut spenden.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1c

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Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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