Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (3 BE)

Folgende Tabelle gibt die Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren innerhalb der Bevölkerung Deutschlands wieder:

In einem Krankenhaus spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut. Im Folgenden soll angenommen werden, dass diese 25 Personen eine zufällige Auswahl aus der Bevölkerung darstellen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn der Spender die Blutgruppe A haben.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Binomialverteilung

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Ereignis A: "Genau 10 Spender haben Blutgruppe A"

p ("Blutgruppe A") = 37 % + 6 % = 43 % = 0, 43

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Bernoulli-Kette

Ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen (Treffer, Niete) nennt man Bernoulli-Experiment.

\begin{matrix} p & Wahrscheinlichkeit für einen Treffer & hier : p = 0, 43 \\ q = 1 - p & Wahrscheinlichkeit für eine Niete & hier : q = 1 - 0, 43 = 0, 57 \end{matrix}

In diesem Fall ist die Blutgruppe A der Treffer.

Bei mehrmaligem Ziehen in einem Bernoulli-Experiment spricht man von einer Bernoulli-Kette.

\begin{matrix} n & Anzahl der Züge ("Länge" der Bernoulli-Kette) & hier : n = 25 \end{matrix}

Bernoulli-Kette mit

n = 25

und

p = 0, 43

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Ereignis

Genau 10 Spender

\Rightarrow

Z = 10

P (A) = P_{0, 43}^{25} (Z = 10)

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Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

P (A) = (\binom{25}{10}) \cdot 0, 43^{10} \cdot 0, 57^{15}

P (A) \approx 15, 4 %

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Themen dieser Aufgabe:

Binomialverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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