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Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (4 BE)

An einem Teil der südlichen Außenwand sind Solarmodule flächenbündig montiert. Die Solarmodule bedecken im Modell eine dreieckige Fläche, deren Eckpunkte die Spitze $S$ sowie die Mittelpunkte der Kanten $[S B]$ und $[S C]$ sind.

Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

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Flächeninhalt eines Dreiecks

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Betrachtet wird das Dreieck $B C S$ mit den Mittelpunkten $M_{B S}$ , $M_{S C}$ und $M_{B C}$ der jeweiligen Kanten und der Höhe $h_{1}$ . Die Höhe des Dreiecks $M_{B S} M_{S C} S$ ist mit $h_{2}$ gekennzeichnet. Mit den Strahlensatz gilt:

Schritt einblenden / ausblenden

$| \vec{M_{B S} M_{S C}} | = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ m

$h_{2} = \frac{1}{2} \cdot h_{1}$

Betrachtet wird nun das rechtwinklige Dreieck $S M M_{B C}$ , wobei $M$ der Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide ist. Für die Höhe des Dreiecks $B C S$ gilt:

Schritt einblenden / ausblenden

$h_{1} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10$ m

$\Rightarrow$ $h_{2} = 5$ m

Flächeninhalt $A_{M_{B S} M_{S C} S}$ bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

$A_{M_{B S} M_{S C} S} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$ m $^{2}$

Alternative Lösung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Flächeninhalt des Dreiecks $B C S$ :

$A_{B C S} = \frac{1}{2} | \vec{C B} \times \vec{S B} | = \frac{1}{2} | (\begin{matrix} 0 \\ 96 \\ 72 \end{matrix}) | = 60$ m $^{2}$

Mit dem Strahlensatz gilt:

$A_{M_{B S} M_{S C} S} = \frac{1}{4} A_{B C S} = \frac{1}{4} \cdot 60 = 15$ m $^{2}$

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