Lösung Abitur Bayern 2013 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Der Innenausbau des Pavillons erfordert eine möglichst kurze, dünne Strebe zwischen dem Mittelpunkt der Grundfläche und der südlichen Außenwand. Ermitteln Sie, in welcher Höhe über der Grundfläche die Strebe an der Außenwand befestigt ist.

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Da die Grundfläche quadratisch ist, liegt der Mittelpunkt auf halber Höhe der Punkte

A

und

C

.

Rechnerisch:

\vec{M} = \frac{1}{2} (\vec{A} + \vec{C}) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 12 + 0 \\ 0 + 12 \\ 0 + 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{matrix})

Mittelpunkt der Grundfläche:

M (6 | 6 | 0)

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Lotgerade auf einer Ebene

Eine möglichst kurze Strebe bedeutet, dass der Abstand zwischen Mittelpunkt der Grundfläche und Ankerpunkt an der südlichen Außenwand möglichst klein ist.

Dieser Abstand ist gegeben durch

d (M, E)

, also der Abstand vom Punkt

M

zur Ebene

E

(die die südlichen Außenwand enthält).

Man stelle also eine Gerade auf, die durch den Punkt

M

und senkrecht zur Ebene verläuft (Lotgerade). Der Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Ebene ist der gesuchte Ankerpunkt.

Gleichung der Lotgerade

l

, die durch

M

und senkrecht zur Ebene

E

verläuft, aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{v}

λ \in ℝ

Der Richtungsvektor der Geraden

l

ist der Normalenvektor der Ebene

E

, da dieser senkrecht darauf steht.

l : \vec{X} = (\begin{matrix} 6 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})}}

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E : 4 x_{2} + 3 x_{3} - 48 = 0

Ebene

E

und Gerade

l

schneiden:

E \cap l

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Einsetzen

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

\begin{matrix} E \cap l : & 4 \cdot (6 + 4 λ) + 3 \cdot (0 + 3 λ) - 48 & = & 0 \\ 24 + 16 λ + 9 λ - 48 & = & 0 \\ 25 λ & = & 24 \\ λ & = & \frac{24}{25} \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, wird der gefundene

λ

-Wert in die Geradengleichung eingesetzt.

Da hier nur die Höhe des Schnittpunktes verlangt ist, reicht es die

x_{3}

-Koordinate des Schnittpunktes zu berechnen.

Höhe bestimmen:

h = 3 \cdot λ = 3 \cdot \frac{24}{25} = 2, 88

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

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Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Schnitt Ebene und Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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