Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Abitur Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2b (5 BE)

Zehn Besucher des Gemeindefests drehen nacheinander jeweils einmal das Glücksrad. Geben Sie zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnen lässt.

$A$ : "Nur die ersten fünf Preise entfallen auf die Kategorie 4."
$B$ : "Genau die Hälfte der Preise entfällt auf die Kategorie 4."
$C$ : "Die Preise verteilen sich jeweils zur Hälfte auf die Kategorien 1 und 4."

Lösung zu Teilaufgabe 2b

Ziehen mit Reihenfolge mit Zurücklegen

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Aus der Tabelle von Teilaufgabe 2a entnimmt man die benötigten Wahrscheinlichkeiten:

Ereignis

A

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Bernoulli-Kette

Es handelt sich hierbei um ein wiederholtes Bernoulli-Experiment (Bernoulli-Kette) mit Treffer Kategorie 4.

Wahrscheinlichkeit eines Treffers:

P ("Kategorie 4") = 0, 4

Wahrscheinlichkeit einer Niete:

P ("nicht Kategorie 4") = 1 - 0, 4 = 0, 6

Es liegt keine Binomialverteilung vor, da die Reihenfolge der Treffer vorgegeben ist. Daher entfällt bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Binomialkoeffizient.

P (A) = 0, 4^{5} \cdot 0, 6^{5}

Binomialverteilung

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Ereignis

B

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Bernoulli-Formel

In diesem Fall liegt eine Binomialverteilung vor, da keine Reihenfolge vorgegeben ist.

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

P (B) = P_{0, 4}^{10} (Z = 5) = (\binom{10}{5}) \cdot 0, 4^{5} \cdot 0, 6^{5}

Wahrscheinlichkeit

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Ereignis

C

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Erläuterung

In diesem Fall handelt es sich nicht mehr um Bernoulli, da es zwei Treffer gibt, Kategorie 1 und Kategorie 4.

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit setzt sich somit zusammen aus:

0, 1^{5}

5 mal Kategorie 1

0, 4^{5}

5 mal Kategorie 4

\frac{10!}{5! \cdot 5!}

Permutation der Reihenfolge (nach dem MISSISSIPPI - Prinzip)

Alternative:
"5 aus 10":

(\binom{10}{5}) = \frac{10!}{5! \cdot 5!}

P (C) = 0, 1^{5} \cdot 0, 4^{5} \cdot \frac{10!}{5! \cdot 5!}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3

Teilaufgabe 4

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ziehen mit Reihenfolge mit Zurücklegen

Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeit

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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