Lösung Abitur Bayern 2011 G8 Musterabitur Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3b (5 BE)

Ein Skeptiker meint, dass die Raucherrate unter den 20-24-jährigen Frauen höher als

0, 3

ist. Er testet die Nullhypothese

H_{0} : p \leq 0, 3

, wobei

p

die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass eine 20-24-jährige Frau raucht. Er stellt jeder der 10 ausgewählten Frauen die Frage "Sind Sie Raucherin?" und erhält folgendes Antwortprotokoll: "ja – nein – ja – nein – ja – ja – nein – nein – nein – ja". Untersuchen Sie, ob das Ergebnis der Befragung die Meinung des Skeptikers auf einem Signifikanzniveau von

5 %

stützt.

Lösung zu Teilaufgabe 3b

Hypothesentest - Fehler erster Art

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Text analysieren und Daten herauslesen:

"Er testet die Nullhypothese..."

\Rightarrow

Nullhypothese

H_{0} : p_{0} \leq 0, 3

"Ein Skeptiker meint, dass die Raucherrate unter den 20-24-jährigen Frauen höher als 0,3 ist"

\Rightarrow

Alternative

H_{1} : p_{1} > 0, 3

"Er stellt jeder der 10 ausgewählten Frauen die Frage "Sind Sie Raucherin?""

\Rightarrow n = 10

Raucherin

"...auf einem Signifikanzniveau von

5 %

..."

\Rightarrow

Irrtumswahrscheinlichkeit

α

(Fehler 1. Art)

Entscheidungsregel erstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler 1.Art

Es soll untersucht werden ob die Meinung des Skeptikers auf einem Signifikanzniveau von

5 %

gestützt wird, d.h. man soll die Nullhypothese irrtümlich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens

5 %

verwerfen.

Das ist der Fall wenn

H_{0}

zutrifft, aber man sich im Ablehnungsbereich

H_{1}

befindet, also

Z \geq k + 1

. Da

H_{0}

zutrifft, rechnet man mit der Wahrscheinlichkeit

p_{0} = 0, 3

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{0, 3}^{10} (Z \geq k + 1) \leq 0, 05

Man spricht von "Fehler erster Art" wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Fehler erster Art:

P_{0, 3}^{10} (Z \geq k + 1) \leq 0, 05

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Betrachtung des Gegenereignisses:

P(mindestens k+1 Treffer) = 1 - P(höchstens k Treffer)

In mathematischen Zeichen:

P (Z \geq k + 1) = 1 - P (Z \leq k)

1 - P_{0, 3}^{10} (Z \leq k) \leq 0, 05

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

1 - P_{0, 3}^{10} (Z \leq k) \leq 0, 05

| - 1

- P_{0, 3}^{10} (Z \leq k) \leq - 0, 95

| \cdot (- 1)

P_{0, 3}^{10} (Z \leq k) \geq 0, 95

Wichtig: Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so dreht sich das Relationszeichen um.

P_{0, 3}^{10} (Z \leq k) \geq 0, 95

\Rightarrow k \geq 5

(Wert wird aus dem Tafelwerk entnommen)

Entscheidungsregel vervollständigen:

Annahmebereich für

p_{0}

A = {0, 1, 2, . . ., 5}

Aus dem Antwortprotokoll entnimmt man:

Z = 5

Raucherin

\Rightarrow

Die Aussage des Skeptikers kann nicht gestützt werden, da

5 \in A

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Lösung als Video:

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Hypothesentest - Fehler erster Art

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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