Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Stochastik S II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.3 (7 BE)

In einer späteren Kontrolle soll untersucht werden, ob sich der Anteil der angeschnallten Personen erhöht hat (Gegenhypothese). Dazu wird ein Test mit

50

zufällig ausgewählten PKW, die jeweils mit genau vier Personen besetzt sind, durchgeführt.
Geben Sie die Testgröße sowie die Nullhypothese an und bestimmen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem

5

%-Niveau.
Welche Entscheidung legt der Test nahe, wenn

97

% der kontrollierten Personen angeschnallt sind?

Lösung zu Teilaufgabe 2.3

Signifikanztest

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Testgröße: Anzahl

X

der angeschnallten Personen

Schritt einblenden / ausblenden

Nullhypothese

Man vermutet zwar, dass sich der Anteil der angeschnallten Insassen erhöht hat, möchte jedoch eine Fehlentscheidung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens

5 %

vermeiden.

Fehlentscheidung bedeutet in diesem Fall, dass der Anteil an angeschnallten Personen immer noch bei

95 %

beträgt und man sich ("irrtümlich") geirrt hat.

Die Nullhypothese ist also die Tatsache, dass der Anteil der angeschnallten Insassen bei

p = 0, 95

liegt.

Nullhypothese

H_{0}

p = 0, 95

Stichprobenumfang:

n = 200

(

50

PKW à

4

Personen)

Signifikanzniveau:

α = 0, 05

Annahmebereich von

H_{0}

A = [0

;

k]

Ablehnungsbereich von

H_{0}

\bar{A} = [k + 1

;

200]

Fehler erster Art bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler 1.Art

Man spricht von "Fehler 1. Art" wenn die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt wird.

Das ist der Fall wenn

H_{0}

wahr ist, man sich aber gegen

H_{0}

entscheidet, da das Stichprobenergebnis zufällig im Ablehnungsbereich liegt (

X > k

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P (X > k) \leq 0, 05

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei

p = 0, 95

die Anzahl der angeschnallten Insassen größer als ein bestimmter Schwellwert

k

ist, soll kleiner sein als

α = 0, 05

P (X > k) \leq 0, 05

1 - P (X \leq k) \leq 0, 05

P (X \leq k) \geq 0, 95

P_{0, 95}^{200} (X \leq k) \geq 0, 95

k = 195

(aus Tafelwerk)

Maximaler Ablehnungsbereich:

\bar{A} = {196; 197; 198; 199; 200}

Entscheidung, wenn

97 %

der Insassen angeschnallt sind:

97 %

von

200

Personen:

0, 97 \cdot 200 = 194

194

liegt unterhalb des Schwellwerts

k = 195

, also im Annahmebereich

A

. Man entscheidet sich für die Nullhypothese

H_{0}

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