Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik NT Stochastik S II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.3 (4 BE)

Erfahrungsgemäß sind bei

25

% der kontrollierten LKW die Papiere nicht in Ordnung. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von

100

zufällig überprüften LKW die Anzahl der LKW-Fahrer, deren Papiere in Ordnung sind, innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.

Lösung zu Teilaufgabe 1.3

Erwartungswert und Standardabweichung

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Interpretation als Bernoulli-Kette:

n = 100

p = 0, 75

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette der Länge

n = 100

angesehen werden.
Die Wahrscheinlichkeit für einen "Treffer" (Papiere in Ordnung) ist

p = 0, 75

Berechnen des Erwartungswerts:

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Der Erwartungswert

μ

einer binomialverteilten Zufallsgröße

X

berechnet sich durch:

μ = n \cdot p

n

: Anzahl der Versuche

p

: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer pro Versuch

μ = n \cdot p = 100 \cdot 0, 75 = 75

Berechnen der Standardabweichung:

Schritt einblenden / ausblenden

Standardabweichung einer Zufallsgröße

Die Standardabweichung

σ

einer binomialverteilten Zufallsgröße

X

berechnet sich durch:

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}

n

: Anzahl der Versuche

p

: Wahrscheinlichkeit für einen Treffer pro Versuch

1 - p

: Wahrscheinlichkeit für eine Niete pro Versuch

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{100 \cdot 0, 75 \cdot (1 - 0, 75)} \approx 4, 33

Die Anzahl

X

der LKW mit korrekten Papieren soll innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.

μ + σ = 75 + 4, 33 = 79, 33

μ - σ = 75 - 4, 33 = 70, 67

\Rightarrow 71 \leq X \leq 79

(

X

muss ganzzahlig sein)

Binomialverteilung

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Berechnen der Wahrscheinlichkeit:

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

Die Zufallsgröße soll innerhalb der Standardabweichung liegen.

n = 100

(

100

LKW werden kontrolliert)

p = 0, 75

(Wahrscheinlichkeit für korrekte Papiere)

71 \leq k \leq 79

(die Anzahl der korrekten Papiere soll innerhalb der Standardabweichung liegen)

P (71 \leq X \leq 79)

Schritt einblenden / ausblenden

Wenn die Zufallsvariable

X

zwischen zwei Zahlen

a

und

b

liegen soll, dann gilt:

P (a \leq X \leq b) = P (X \leq b) - P (X \leq a - 1)

"Obere Grenze minus die um 1 verkleinerte untere Grenze"

= P (X \leq 79) - P (X \leq 70)

= P_{0, 75}^{100} (X = 79) - P_{0, 75}^{100} (X = 70)

\overset{T W}{=} 0, 85117 - 0, 14954 \approx 70, 16 %

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Themen dieser Aufgabe:

Erwartungswert und Standardabweichung

Binomialverteilung

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