Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2a (5 BE)

Es gibt zwei Typen

A

und

B

von Jumbo-Verkaufspackungen, die jeweils gut gemischt Tausende von Bausteinen enthalten; diese unterscheiden sich nur in ihrer Farbe. Bei Typ

A

ist jeder fünfte, bei Typ

B

jeder dritte Baustein gelb.
Bei einer gelieferten Jumbo-Verkaufspackung ist der Aufkleber mit der Typenbezeichnung verloren gegangen. Durch zufällige Entnahme von

25

Bausteinen soll entschieden werden, um welchen Typ es sich handelt.
Verwenden Sie im Folgenden das Modell "Ziehen mit Zurücklegen".

Geben Sie die Entscheidungsregel an, bei der die beiden Wahrscheinlichkeiten, sich irrtümlich für einen falschen Typ zu entscheiden, möglichst nahe beieinander liegen. Wie groß sind in diesem Fall die beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten?

Lösung zu Teilaufgabe 2a

Hypothesentest - Fehler erster Art

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Daten aus der Aufgabenstellung analysieren:

(Hypothese) Typ

A

: Jeder fünfte Baustein ist gelb.

\Rightarrow

p_{A} = \frac{1}{5}

(Alternative) Typ

B

: Jeder dritte Baustein ist gelb.

\Rightarrow

p_{B} = \frac{1}{3}

n = 25

Anzahl der Züge (Ziehen mit Zurücklegen)

Entscheidungsregel:

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler 1.Art

Es soll die Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Ablehnen der Verkaufspackung des Typs A berechnet werden.

Das ist der Fall wenn

H_{A}

stimmt, aber man sich im Bereich

H_{B}

befindet, also

Z \geq k + 1

. Da

H_{A}

stimmt, rechnet man mit der Wahrscheinlichkeit

p_{A}

\Rightarrow

Fehler erster Art:

P_{\frac{1}{5}}^{25} (Z \geq k + 1)

Man spricht vom "Fehler erster Art" , wenn die Hypothese (hier Typ A) fälschlicherweise abgelehnt wird.

Fehler erster Art (

A

wird irrtümlich abgelehnt):

Schritt einblenden / ausblenden

P_{\frac{1}{5}}^{25} (Z \geq k + 1) = 1 - P_{\frac{1}{5}}^{25} (Z \leq k)

Hypothesentest - Fehler zweiter Art

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Fehler zweiter Art (

B

wird irrtümlich abgelehnt):

Schritt einblenden / ausblenden

Fehler zweiter Art

Es soll die Wahrscheinlichkeit für ein irrtümliches Ablehnen der Verkaufspackung des Typs B berechnet werden.

Das ist der Fall wenn

H_{B}

stimmt, aber man sich im Bereich

H_{A}

befindet, also

Z \leq k

. Da

H_{B}

stimmt, rechnet man mit der Wahrscheinlichkeit

p_{B}

\Rightarrow

Fehler zweiter Art:

P_{\frac{1}{3}}^{25} (Z \leq k)

Man spricht vom "Fehler zweiter Art" , wenn die Alternative (hier Typ B) fälschlicherweise abgelehnt wird.

P_{\frac{1}{3}}^{25} (Z \leq k)

Die Irrtumswahrscheinlichkeiten sollen möglichst nahe beieinander liegen:

P_{\frac{1}{3}}^{25} (Z \leq k) \approx 1 - P_{\frac{1}{5}}^{25} (Z \leq k)

P_{\frac{1}{3}}^{25} (Z \leq k) + P_{\frac{1}{5}}^{25} (Z \leq k) \approx 1

Schritt einblenden / ausblenden

Tafelwerk

Für jedes

k

müssen zwei Werte im Tafelwerk abgelesen und aufsummiert werden:

P_{\frac{1}{3}}^{25} (Z \leq k)

und

P_{\frac{1}{5}}^{25} (Z \leq k)

\Rightarrow

k = 6

(Wert wird im Tafelwerk abgelesen)

Die Entscheidungsregel lautet somit:

Die Irrtumswahrscheinlichkeiten lauten somit:

P_{\frac{1}{3}}^{25} (Z \leq 6) = 0, 22154 \approx 22, 2 %

P_{\frac{1}{5}}^{25} (Z \geq 7) = 1 - P_{\frac{1}{5}}^{25} (Z \leq 6) = 1 - 0, 78004 \approx 22, 0 %

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Hypothesentest - Fehler erster Art

Hypothesentest - Fehler zweiter Art

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die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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