Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1a (5 BE)

Eine große Kiste enthält gut gemischt mehrere hundert rote, blaue, grüne und gelbe Bausteine, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden. Jeder fünfte Baustein ist gelb,

8 %

sind grün. Außerdem befinden sich dreimal so viele blaue wie grüne Steine in der Kiste.

Aus der Kiste werden 10 Bausteine zufällig entnommen. Zeigen Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis "Keiner der Bausteine ist grün" bei den Modellen "Ziehen mit Zurücklegen" und "Ziehen ohne Zurücklegen" um weniger als

0, 2

Prozentpunkte unterscheiden, wenn von einer Kiste mit 1000 Steinen ausgegangen wird.

Lösung zu Teilaufgabe 1a

Wahrscheinlichkeit

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Angaben aus der Einleitung:

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Tabelle

"Jeder fünfte Baustein ist gelb"

\Rightarrow

P (gelb) = \frac{1}{5} = 0, 2

8 %

sind grün"

\Rightarrow

P (grün) = 0, 08

"3 mal so viele blaue wie grüne"

\Rightarrow

P (blau) = 3 \cdot 0, 08 = 0, 24

Restliche Bausteine sind rot:

P (rot) = 1 - P (nicht rot) = 1 - (0, 2 + 0, 08 + 0, 24) = 0, 048

Wahrscheinlichkeit im Modell "Ziehen mit Zurücklegen" bestimmen:

Ereignis:

A

: "Baustein ist nicht grün"

Treffer = "Baustein ist grün"

p = P

(Treffer)

= 0, 08

n = 10

Anzahl der Versuche

Z = 0

kein Baustein ist grün

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

Spezialfall

k = 0

P (0 Treffer) = P_{p}^{n} (Z = 0) = \underset{1}{\underset{︸}{(\binom{n}{0})}} \cdot \underset{1}{\underset{︸}{p^{0}}} \cdot (1 - p)^{n - 0}

\Rightarrow P (0 Treffer) = (1 - p)^{n}

P (A) = P_{0, 08}^{10} (Z = 0) = (1 - 0, 08)^{10} = 0, 92^{10} = 0, 43438

Wahrscheinlichkeit im Modell "Ziehen ohne Zurücklegen" bestimmen:

1000

Bausteine in der Kiste.

\Rightarrow

1000 \cdot 0, 08 = 80

Anzahl der grünen Bausteine

Schritt einblenden / ausblenden

Ziehen ohne Zurücklegen

Anzahl der Möglichkeiten

0

aus

80

grünen Bausteinen:

(\binom{80}{0})

Anzahl der Möglichkeiten

10

aus

1000 - 80 = 920

nicht grünen Bausteinen:

(\binom{920}{10})

Anzahl der Möglichkeiten

10

aus

1000

Bausteinen:

(\binom{1000}{10})

P (A) = \frac{(\binom{80}{0}) \cdot (\binom{920}{10})}{(\binom{1000}{10})} = 0, 43268

Differenz der Wahrscheinlichkeiten:

0, 43438 - 0, 43268 = 0, 0017 < 0, 002

\Rightarrow

Die Wahrscheinlichkeiten unterscheiden sich um weniger als 0,2 Prozentpunkte.

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Teilaufgabe 3b

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Themen dieser Aufgabe:

Wahrscheinlichkeit

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