Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1c (5 BE)

Lars denkt sich ein Spiel aus. Ein Spieler soll dazu 16 Bausteine aus der Kiste zufällig entnehmen; für jeden gelben und für jeden blauen Stein zahlt Lars 1 €, für jeden grünen 5 € an den Spieler. Für jeden roten Baustein muss der Spieler jedoch einen bestimmten Betrag an ihn zahlen. Wie hoch muss Lars diesen Betrag mindestens festsetzen, damit er bei häufigem Spielen im Mittel keinen Verlust zu befürchten hat?

Lösung zu Teilaufgabe 1c

Erwartungswert einer Zufallsgröße

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Tabelle für die Wahrscheinlichkeitsverteilung erstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Tabelle

r

ist der Betrag, den ein Spieler an Lars beim Ziehen eines roten Bausteins entrichten muss. Da es sich um einen Verlust handelt, wird mit

- r

gerechnet.

Die Wahrscheinlichkeiten

p_{i}

entnimmt man aus der Tabelle aus Teilaufgabe 1a.

Erwartungswert beim ersten Zug bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße

X

, die die Werte

x_{i}

annimmt, ist definiert als:

E_{n} (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot \underset{p_{i}}{\underset{︸}{P (X = x_{i})}} = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

E (X) = - 0, 48 \cdot r + 0, 44 + 0, 40 = 0, 84 - 0, 48 \cdot r

Erwartungswert bei 16 Züge bestimmen:

E (Z) = E \underset{16 mal}{\underset{︸}{(X + X + \dots + X)}} = E (X) + \dots + E (X) = 16 \cdot E (X) = 16 \cdot (0, 84 - 0, 48 \cdot r)

r

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Faires Spiel

Ein Spiel ist fair (für den Spieler), wenn der Erwartungswert gleich Null ist:

E (Z) = 0

E (Z) = 0

\Leftrightarrow

16 \cdot (0, 84 - 0, 48 \cdot r) = 0

0, 84 - 0, 48 \cdot r = 0

r = 1, 75

\Rightarrow

Lars muss mindestens 1,75 € festlegen damit er im Mittel keinen Verlust befürchten muss, also

r \geq 1, 75

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!