Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik LK Stochastik IV

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (7 BE)

Es werden zufällig 16 Bausteine aus der Kiste entnommen. Die beiden Säulendiagramme zeigen die Wahrscheinlichkeiten, dabei

k

gelbe Steine zu erhalten. Das linke Diagramm zeigt die zugehörige Binomialverteilung, das rechte ergibt sich bei Näherung durch die Normalverteilung.

Prüfen Sie, ob das Kriterium für eine brauchbare Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung erfüllt ist (vgl. Formelsammlung). Zeigen Sie rechnerisch, dass es einen Wert für

k

gibt, bei dem die in den Diagrammen dargestellten Wahrscheinlichkeiten

P (k)

und

P^{*} (k)

um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander abweichen.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Standardabweichung einer Zufallsgröße

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

n = 16

p = P

(gelb)

= 0, 2

(siehe Teilaufgabe 1a)

q = 1 - p = 0, 8

Erwartungswert

μ

bestimmen:

μ = n \cdot p = 16 \cdot 0, 2 = 3, 2

Varianz

σ^{2}

bestimmen:

σ^{2} = n \cdot p \cdot q = 3, 2 \cdot 0, 8 = 2, 56

Standardabweichung

σ

bestimmen:

σ = \sqrt{2, 56} = 1, 6 < 3

\Rightarrow

Keine Normalverteilung möglich.

Binomialverteilung

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Wähle

k = 2

.

Binomialverteilung:

P (2) = P_{0, 2}^{16} (Z = 2)

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

= (\binom{16}{2}) \cdot 0, 2^{2} \cdot 0, 8^{14} = 0, 2111

Normalverteilung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalverteilung als Approximation der Binomialverteilung:

P^{*} (Z = 2)

Schritt einblenden / ausblenden

Lokale Näherung

Für große

n (n \cdot p \cdot q > 9)

gilt:

P_{n}^{p} (Z = k) \approx \frac{1}{σ} \cdot φ (\frac{k - μ}{σ})

Dabei ist

φ

die Gaußsche Dichtefunktion.

= \frac{φ (\frac{2 - 3, 2}{1, 6})}{1, 6}

= \frac{φ (\frac{- 0, 75}{1, 6})}{1, 6}

= \frac{φ (\frac{0, 75}{1, 6})}{1, 6}

(Wert wird aus den Quantilen des stochastischen Tafelwerks entnommen)

= \frac{0, 30144}{1, 6} = 0, 1884

Differenz:

P (2) - P^{*} (2) = 0, 2111 - 0, 1884 = 0, 0227 > 0, 2

\Rightarrow

Für

k = 2

weichen die Wahrscheinlichkeiten

P (k)

und

P^{*} (k)

um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander ab.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

Teilaufgabe 1d

Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 3a

Teilaufgabe 3b

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Standardabweichung einer Zufallsgröße

Binomialverteilung

Normalverteilung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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