Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1h (5 BE)

G_{8}

und die Koordinatenachsen begrenzen im IV. Quadranten ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt.

Lösung zu Teilaufgabe 1h

Flächenberechnung

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{8} (x) = 1 - \frac{16}{e^{x} + 8}

F_{8} (x) = 2 \cdot \ln (e^{x} + 8) - x

(Stammfunktion von

f_{8}

, siehe Teilaufgabe 1g)

Fläche

A

die

G_{8}

und die Koordinatenachsen im IV.Quadranten einschließt:

Schritt einblenden / ausblenden

Bestimmtes Integral

Die Fläche die der Graph

G_{8}

und die Koordinatenachsen im IV.Quadranten einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

A = - \int_{0}^{\ln 8} f_{8} (x) d x

Da die Fläche unterhalb der

x

-Achse liegt, muss ein Minuszeichen vor dem Integral gesetzt werden.

Die obere Grenze

\ln 8

des Integrals, ist die Stelle an der der Graph

G_{8}

die

x

-Achse schneidet. Dieser Wert wurde in Teilaufgabe 1c) berechnet (

k = 8

S_{k}

einsetzen).

A = - \int_{0}^{\ln 8} f_{8} (x) d x

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

= - [F_{8} (x)]_{0}^{\ln 8}

= - {[2 \cdot \ln (e^{x} + 8) - x]}_{0}^{\ln 8}

= - [(2 \cdot \ln (\underset{= 8}{\underset{︸}{e^{\ln 8}}} + 8) - \ln 8) - (2 \cdot \ln (\underset{= 1}{\underset{︸}{e^{0}}} + 8) - 0)]

= - 2 \cdot \ln 16 + \ln 8 + 2 \cdot \ln 9

= - 2 \cdot \ln 2^{4} + \ln 2^{3} + 2 \cdot \ln 3^{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Logarithmus einer Potenz

\ln (s^{t}) = t \cdot \ln s

= - 8 \cdot \ln 2 + 3 \ln 2 + 4 \cdot \ln 3

= - 5 \ln 2 + 4 \ln 3

\approx 0, 93

FE (Flächeneinheiten)

\Rightarrow

Die gesuchte Fläche hat den Inhalt

0, 93

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Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 1c

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Teilaufgabe 1g

Teilaufgabe 1h

Teilaufgabe 2

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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