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Lösung Abitur Bayern 2010 Mathematik GK Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (4 BE)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen $G_{1}$ und $G_{8}$ nicht schneiden.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Schnittpunkt zweier Funktionen

$f_{k} (x) = 1 - \frac{2 k}{e^{x} + k}$ , $k \in ℝ^{+}$

$f_{1} (x) = 1 - \frac{2}{e^{x} + 1}$

$f_{8} (x) = 1 - \frac{16}{e^{x} + 8}$

$G_{1}$ mit $G_{8}$ schneiden:

Schritt einblenden / ausblenden

$f_{1} (x) = f_{8} (x)$ $\Leftrightarrow$ $1 - \frac{2}{e^{x} + 1} = 1 - \frac{16}{e^{x} + 8}$

$1 - \frac{2}{e^{x} + 1} = 1 - \frac{16}{e^{x} + 8}$ $| - 1$

$- \frac{2}{e^{x} + 1} = - \frac{16}{e^{x} + 8}$ $| \cdot [- (e^{x} + 8)]$

$\frac{2 e^{x} + 16}{e^{x} + 1} = 16$ $| \cdot (e^{x} + 1)$

$2 e^{x} + 16 = 16 e^{x} + 16$ $| - 2 e^{x} - 16$

$0 = 14 e^{x}$

$\Rightarrow$ Keine Lösung, da $e^{x} > 0$ für alle $x \in ℝ$

$\Rightarrow G_{1}$ und $G_{8}$ schneiden sich in keinem Punkt

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