Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1f (8 BE)

Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel

ϕ

, um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche ge-neigt ist.

Lösung zu Teilaufgabe 1f

Volumen eines Zylinders

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ρ = 4

(s. Teilaufgabe e)

d (E_{13}, E_{- 3}) = \frac{16}{3}

(s. Teilaufgabe d)

Volumen bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Grundfläche des Zylinders ist gleich der Oberfläche des Schnittkreises mit Radius

ρ

Die Höhe des Zylinders ist gleich dem Abstand zwischen den Ebenen

E_{13}

und

E_{- 3}

(der Schnittkreis mit Mittelpunkt N liegt in der Ebene

E_{13}

und der Schnittkreis mit Mittelpunkt N' in der Ebene

E_{- 3}

, s. Teilaufgabe e)

V_{Z y l} = G \cdot h

= ρ^{2} \cdot π \cdot d (E_{13}, E_{- 3})

= 16 \cdot π \cdot \frac{16}{3}

= \frac{256}{3} \cdot π

Das Volumen des Zylinders ist gleich

\frac{256}{3} \cdot π

Winkel zwischen zwei Vektoren

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A (- 2 | 1, 5 | 6)

N (5 | 1 | 1)

\vec{N A} = (\begin{matrix} - 7 \\ 0, 5 \\ 5 \end{matrix}) \to | \vec{N A} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 7 \\ 0, 5 \\ 5 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{74, 25}

{\vec{n}}_{E_{13}} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \to | {\vec{n}}_{E} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}^{2}} = 3

Winkel

ω

zwischen den Vektoren

\vec{N A}

und

{\vec{n_{E}}}_{13}

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

\cos ω = \frac{(\begin{matrix} - 7 \\ 0, 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}{\sqrt{74, 25} \cdot 3} \approx - 0, 309

Schritt einblenden / ausblenden

Spitzer Winkel

Gesucht ist der spitze Winkel

\hat{ω}

.
Man nimmt also den positiven Wert des Kosinus.

\Rightarrow \hat{ω} = \arccos (0, 309) \approx 71, 97^{\circ}

Winkel

φ

zwischen der Ebene

E_{13}

und dem Zylinder bestimmen:

φ = 90^{\circ} - \hat{ω}

= 90^{\circ} - 71, 97^{\circ}

= 18, 03^{\circ}

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Teilaufgabe 1g

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Zylinders

Winkel zwischen zwei Vektoren

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