Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1b (4 BE)

Die Kugel

K

mit dem Mittelpunkt

M (3 | - 1 | 0)

berührt die Ebene

F

.
Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius

r

der Kugel.
[Teilergebnis:

r = 5

]

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Abstand Punkt - Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

M (3 | - 1 | 0)

F^{N} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + 12 = 0

Hesse-Normalenform

F^{H N F}

der Ebene

F

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors.

E^{N} : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d = 0

\Rightarrow E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

F^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + 12}{\sqrt{{(\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})}^{2}}} = \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + 12}{5} = 0

Radius der Kugel

K

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

M

in die Hesse-Normalenform der Ebene

F

, bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

d (M, F) = | \frac{\vec{O M} \cdot \vec{n_{F}} - d}{| \vec{n_{F}} |} |

r = d (M, F) = | \frac{(\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + 12}{5} | = \frac{13 + 12}{5} = 5

Der Radius der Kugel

K

ist

r = 5

Lotfußpunkt auf eine Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Sei

B^{'}

der gesuchte Berührpunkt.

Berührpunkt bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotfußpunkt

Der Lotfußpunkt

B^{'}

durch einen Lot des Punktes

M

auf die Ebene

F

ist gegeben durch:

\vec{O B^{'}} = \vec{O M} - d (M, F) \cdot \vec{n_{0}}

,

wobei

d (M, F)

der Abstand des Punktes

M

von der Ebene

F

ist (das Vorzeichen muss berücksichtigt werden) und

\vec{n_{0}}

der normierte Normalenvektor der Ebene

F

(d.h. die Länge von

\vec{n_{0}} = 1

\vec{n_{0}} = \frac{1}{| \vec{n_{F}} |} \cdot \vec{n_{F}} = \frac{1}{\sqrt{{(\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})}^{2}}} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = \frac{1}{5} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

\vec{O B^{'}} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) - 5 \cdot \frac{1}{5} (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

Die Kugel

K

berührt die Ebene

F

im Punkt

B^{'} = B (0 | 3 | 0)

Alternative Berechnung:

Gerade

g

durch

M

senkrecht auf

F

bestimmen:

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + γ \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

Schnittpunkt zwischen

g

und

F

bestimmen:

g \cap F : [(\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) + γ \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

13 + 25 \cdot γ + 12 = 0 \Rightarrow γ = - 1

\Rightarrow \vec{x_{B^{'}}} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}) - 1 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 1g

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Themen dieser Aufgabe:

Abstand Punkt - Ebene

Lotfußpunkt auf eine Ebene

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