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Themen dieser Aufgabe:

Abstand Punkt - Ebene

Radius eines Kreises bestimmen

Lotfußpunkt auf eine Ebene

Schnitt Kugel - Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1e  (8 BE)

Die Ebene ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13}}$ schneidet die Kugel ${\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt ${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und den Radius ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{-3}}$ mit der Kugel ${\displaystyle {\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }}$ ebenfalls den Radius ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$?
[Teilergebnis: ${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(5|1|1)}$]

 

Lösung zu Teilaufgabe 1e

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Abstand Punkt - Ebene

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${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(3|-1|0)}$

${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=5}$

${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13}:\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)-13=0}$

Hesse-Normalenform der Ebene aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ einer Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ entsteht durch Teilung der Normalenform ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ der Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit dem Betrag des Normalenvektors.

${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}:\overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\circ \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}-\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

${\displaystyle \Rightarrow {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}:\frac{\overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\circ \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}-\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\right|}=0}$

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus ${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$ und dem Ortsvektor des Aufpunkts von ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

In diesem Fall ist ${\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}|=\sqrt{{\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)}^2}=3}$

${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13}^{\mathrm{H<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{F<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}:\frac{\overrightarrow{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)-13}{3}=0}$


Abstand ${\displaystyle \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ der Ebene zum Punkt ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes M in die Hesse-Normalform der Ebene E, bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\left|\frac{\overrightarrow{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}-\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\left|\overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\right|}\right|}$

In diesem Fall wird bewusst auf die Betragsstriche verzichtet, denn das Vorzeichen wird später bei der Berechnung des Lotfußpunktes ${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von Bedeutung sein.

${\displaystyle \mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>},{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13}\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)-13}{3}=\frac{4-13}{3}=-\frac{9}{3}=-3}$

Radius eines Kreises bestimmen

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Radius ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ des Schnittkreises bestimmen:

${\displaystyle {\mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+{\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$ (Pythagoras)

${\displaystyle {\mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+9=25}$

${\displaystyle \Rightarrow \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4}$

Der Radius des Schnittkreises ist ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4}$.

Lotfußpunkt auf eine Ebene

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Mittelpunkt ${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Lotfußpunkt

Der Lotfußpunkt ${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ durch einen Lot des Punktes ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ auf die Ebene ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13}}$ ist gegeben durch:

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>},{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13})\cdot \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}}$,

wobei ${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>},{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13})=\mathrm{s<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-3}$ der Abstand des Punktes ${\displaystyle \mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von der Ebene ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13}}$ ist (das Vorzeichen muss berücksichtigt werden) und ${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}=\frac{\overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}{|\overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}|}=\frac{1}{3}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$ der normierte Normalenvektor der Ebene ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13}}$ (d.h. die Länge von ${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_0}=1}$).

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{O<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 0\end{array}\right)-(-3)\cdot \frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$

Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist ${\displaystyle \mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(5|1|1)}$.

Schnitt Kugel - Ebene

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Der Schnittkreis von ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{-3}}$ mit der Kugel ${\displaystyle {\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }}$ hat ebenfalls den Radius ${\displaystyle \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=4}$, weil sowohl die Ebene ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{-3}}$ als auch die Kugel ${\displaystyle {\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }}$ durch Spiegelung der Ebene ${\displaystyle {\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{13}}$ bzw. der Kugel ${\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ an dem Punkt ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ entstanden sind.

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