Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1d (6 BE)

Zeigen Sie, dass die Ebenen

E_{13}

und

E_{- 3}

symmetrisch bezüglich des Punktes

A

liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.

Lösung zu Teilaufgabe 1d

Lagebeziehung von Ebenen

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A (- 2 | 1, 5 | 6)

E_{a} : 2 x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} - a = 0 \Leftrightarrow \vec{x} \cdot \underset{{\vec{n}}_{E_{a}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}} - a = 0

\Rightarrow E_{13} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - 13 = 0

\Rightarrow E_{- 3} : \vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + 3 = 0

Normalenvektoren der Ebenen vergleichen:

{\vec{n}}_{E_{13}} = {\vec{n}}_{E_{- 3}} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

\Rightarrow

Die Ebene

E_{13}

ist parallel zur Ebene

E_{- 3}

Abstand Punkt - Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Hesse-Normalenform der Ebenen aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{H N F}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform

E^{N}

der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors.

E^{N} : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d = 0

\Rightarrow E^{H N F} : \frac{\vec{X} \circ \vec{n_{E}} - d}{| \vec{n_{E}} |} = 0

d

ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus

\vec{n_{E}}

und dem Ortsvektor des Aufpunkts von

E

.

In diesem Fall ist

| \vec{n} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})}^{2}} = 3

E_{13}^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - 13}{3} = 0

E_{- 3}^{H N F} : \frac{\vec{x} \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + 3}{3} = 0

Abstand der Ebenen zum Punkt

A

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes A in die Hesse-Normalenform der Ebene E, bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

d (A, E) = | \frac{\vec{O A} \cdot \vec{n_{E}} - a}{| \vec{n_{E}} |} |

d_{1} = d (A, E_{13}) = | \frac{(\begin{matrix} - 2 \\ 1, 5 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) - 13}{3} | = | \frac{5 - 13}{3} | = \frac{8}{3}

d_{2} = d (A, E_{- 3}) = | \frac{(\begin{matrix} - 2 \\ 1, 5 \\ 6 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + 3}{3} | = | \frac{5 + 3}{3} | = \frac{8}{3}

d_{1} = d_{2} = \frac{8}{3}

\Rightarrow

Der Abstand der Ebene

E_{13}

vom Punkt

A

ist gleich dem Abstand der Ebene

E_{- 3}

vom Punkt

A

Schritt einblenden / ausblenden

Spiegelung

Es wurde gezeigt, dass die Ebenen den gleichen Normalenvektor haben, also parallel sind, und dass sie den gleichen Abstand zum Punkt

A

haben.
Somit sind die Ebenen zum Punkt

A

symmetrisch.

Anders formuliert: die eine Ebene entsteht durch Punktspiegelung der anderen am Punkt

A

\Rightarrow

Die Ebene

E_{13}

ist symmetrisch zur Ebene

E_{- 3}

bezüglich dem Punkt

A

Abstand zwischen den zwei Ebenen bestimmen:

d (E_{13}, E_{- 3}) = d_{1} + d_{2} = \frac{16}{3}

\Rightarrow

Der Abstand zwischen den Ebenen

E_{13}

und

E_{- 3}

beträgt

d = \frac{16}{3}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

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Teilaufgabe 1e

Teilaufgabe 1f

Teilaufgabe 1g

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Ebenen

Abstand Punkt - Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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