Lösung Abitur Bayern 2009 Mathematik LK Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2e (7 BE)

K

sei die Kugel, auf der alle Ecken der Pyramide

A B C D S

liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts

M

und den Radius

r

der Kugel

K

und zeigen Sie, dass

M

im Inneren der Pyramide liegt.

Lösung zu Teilaufgabe 2e

Länge eines Vektors

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Betrachtet wird das Dreieck

A F S

.
Der Punkt

M

liegt auf

[S F]

und hat vom Punkt

A

und

S

einen Abstand gleich

r

A (5 | 1 | 0)

F (2 | 1 | 3)

\bar{F S} = 6

(siehe Teilaufgabe 2d)

\Rightarrow \bar{F M} = 6 - r

Länge des Vektors

\vec{A F}

bestimmen:

\vec{A F} = \vec{F} - \vec{A} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

\bar{A F} = | \vec{A F} | = \sqrt{{(\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{- 3^{2} + 0 + 3^{2}} = \sqrt{18}

Radius

r

bestimmen mit dem Satz des Pythagoras (angewendet im Dreieck

A F M

{\bar{A F}}^{2} + {\bar{F M}}^{2} = {\bar{A M}}^{2}

18 + (6 - r)^{2} = r^{2}

18 + 36 - 12 r + r^{2} = r^{2}

12 r = 54

\Rightarrow r = \frac{9}{2}

Lage eines Punktes

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F (2 | 1 | 3)

S (6 | 3 | 7)

\vec{S F} = \vec{F} - \vec{S} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})

\bar{S F} = 6

\Rightarrow {\vec{S F}}^{0} = \frac{1}{\bar{S F}} \cdot \vec{S F} = \frac{1}{6} \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})

Mittelpunkt

M

bestimmen:

\vec{M} = \vec{S} + r \cdot {\vec{S F}}^{0}

\vec{M} = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{6} \cdot (\begin{matrix} - 4 \\ - 2 \\ - 4 \end{matrix})

\vec{M} = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 7 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ \frac{3}{2} \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ \frac{3}{2} \\ 4 \end{matrix})

\Rightarrow M (3 | \frac{3}{2} | 4)

Lagebeziehung Punkt und Kugel

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M

liegt im Inneren der Pyramide, da

r = \frac{9}{2} < 6 = \bar{S F}

Alternative Lösung

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S (6 | 3 | 7)

C (- 1 | 1 | 6)

Gerade

l

durch

F

und

S

(siehe Teilaufgabe 2c):

l : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Punkt

M

liegt auf der Geraden

l

und erfüllt für ein bestimmtes

μ

die Geradengleichung.

\Rightarrow M (2 + 2 μ | 1 + μ | 3 + 2 μ)

\Rightarrow \vec{S M} = (\begin{matrix} 2 + 2 μ - 6 \\ 1 + μ - 3 \\ 3 + 2 μ - 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 μ - 4 \\ μ - 2 \\ 2 μ - 4 \end{matrix})

\Rightarrow \vec{C M} = (\begin{matrix} 2 + 2 μ + 1 \\ 1 + μ - 1 \\ 3 + 2 μ - 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 μ + 3 \\ μ \\ 2 μ - 3 \end{matrix})

Länge der Strecken

[S M]

und

[C M]

bestimmen:

\bar{S M} = | \vec{S M} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 μ - 4 \\ μ - 2 \\ 2 μ - 4 \end{matrix})}^{2}}

= \sqrt{(2 μ - 4)^{2} + (μ - 2)^{2} + (2 μ - 4)^{2}}

= \sqrt{4 μ^{2} - 16 μ + 16 + μ^{2} - 4 μ + 4 + 4 μ^{2} - 16 μ + 16}

= \sqrt{9 μ^{2} - 36 μ + 36}

\bar{C M} = | \vec{C M} | = \sqrt{{(\begin{matrix} 2 μ + 3 \\ μ \\ 2 μ - 3 \end{matrix})}^{2}}

= \sqrt{(2 μ + 3)^{2} + μ^{2} + (2 μ - 3)^{2}}

= \sqrt{4 μ^{2} + 12 μ + 9 + μ^{2} + 4 μ^{2} - 12 μ + 9}

= \sqrt{9 μ^{2} + 18}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

S

und

C

auf der Kugel liegen, sind die Strecken

[S M]

und

[C M]

gleich dem Radius der Kugel. Somit muss gelten:

\bar{S M} = \bar{C M}

und deswegen auch

{\bar{S M}}^{2} = {\bar{C M}}^{2}

Es gilt:

{\bar{S M}}^{2} = {\bar{C M}}^{2}

\Rightarrow 9 μ^{2} - 36 μ + 36 = 9 μ^{2} + 18

- 36 μ = - 18

\Rightarrow μ = \frac{1}{2}

μ = \frac{1}{2}

M

einsetzen:

\Rightarrow M (3 | \frac{3}{2} | 4)

Mittelpunkt

Radius bestimmen:

r = \bar{S M} = \sqrt{9 μ^{2} - 36 μ + 36} = \sqrt{9 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 \cdot \frac{1}{2} + 36} = \frac{9}{2}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe 1a

Teilaufgabe 1b

Teilaufgabe 2a

Teilaufgabe 2b

Teilaufgabe 2c

Teilaufgabe 2d

Teilaufgabe 2e

Teilaufgabe 2f

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Länge eines Vektors

Lage eines Punktes

Lagebeziehung Punkt und Kugel

Alternative Lösung

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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